Dicksons gissning

Inom talteorin , en gren av matematiken, är Dicksons gissning den gissning som anges av Dickson ( 1904 ) att för en ändlig uppsättning linjära former $a 1 + b 1 n$ , $a 2 + b 2 n$ , ..., $a k + b k n$ med $b i \geq 1$ finns det oändligt många positiva heltal $n$ för vilka de alla är primtal , såvida det inte finns ett kongruensvillkor som förhindrar detta ( Ribenboim 1996 , 6.I). Fallet k = 1 är Dirichlets sats .

Två andra specialfall är välkända gissningar: det finns oändligt många tvillingprimtal ( n och 2 + n är primtal), och det finns oändligt många Sophie Germainprimtal ( n och 1 + 2 n är primtal).

Dicksons gissning utvidgas ytterligare av Schinzels hypotes H .

Generaliserade Dicksons gissningar

Givet n polynom med positiva grader och heltalskoefficienter ( n kan vara vilket naturligt tal som helst) som var och en uppfyller alla tre villkoren i Bunyakovsky-förmodan , och för varje primtal p finns ett heltal x så att värdena för alla n polynom vid x inte är delbart med p , då finns det oändligt många positiva heltal x så att alla värden på dessa n polynom vid x är primtal. Till exempel, om gissningen är sann så finns det oändligt många positiva heltal x så att x ² + 1, 3 x - 1 och x ² + x + 41 alla är primtal. När alla polynom har grad 1 är detta den ursprungliga Dicksons gissning.

Denna mer allmänna gissning är densamma som den generaliserade Bunyakovsky-förmodan .

Se även

Dickson, LE (1904), "En ny förlängning av Dirichlets teorem om primtal", Messenger of Mathematics , 33 : 155–161
Ribenboim, Paulo (1996), The new book of prime number records , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94457-9 , MR 1377060