Legendres gissningar

Legendres gissning , föreslagen av Adrien-Marie Legendre , säger att det finns ett primtal mellan $n^{2}$ och $(n+1)^{2}$ för varje positivt heltal $n$ . Gissningen är ett av Landaus problem (1912 ) om primtal; från och med 2022 har gissningen varken bevisats eller motbevisats .

Olöst problem i matematik :

Finns det alltid minst ett primtal mellan $n^{2}$ och $(n+1)^{2}$ ?

(fler olösta problem i matematik)

Prime luckor

Om Legendres gissningar är sanna, skulle gapet mellan ett primtal p och det näst största primtal vara ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\,)} ,$ uttryckt i big O-notation . Det är en av en familj av resultat och gissningar relaterade till primtalsluckor , det vill säga avståndet mellan primtal. Andra inkluderar Bertrands postulat om förekomsten av ett primtal mellan $n$ och $2n$ , Oppermanns gissning om förekomsten av primtal mellan $n^{2}$ , $n(n+1)$ och $(n +1)^{2}$ , Andricas gissning och Brocards gissning om förekomsten av primtal mellan kvadrater av på varandra följande primtal, och Cramérs gissning att luckorna alltid är mycket mindre, av ordningen $(\log p)^{2}$ . Om Cramérs gissning är sann, skulle Legendres gissning följa för alla tillräckligt stora n . Harald Cramér bevisade också att Riemann-hypotesen innebär en svagare gräns för $O({\sqrt {p}}\log p)$ på storleken på de största primspalterna.

Plotta antalet primtal mellan n ² och ( n + 1) ² OEIS : A014085

Med primtalssatsen är det förväntade antalet primtal mellan $n^{2}$ och $(n+1)^{2}$ ungefär ${\displaystyle n/\ln n} ,$ och det är dessutom känt att för nästan alla intervall av denna form är det faktiska antalet primtal ( OEIS : A014085 ) asymptotiskt till detta förväntade antal. Eftersom detta antal är stort för stora $n$ , ger detta trovärdighet åt Legendres gissningar. Det är känt att primtalssatsen ger en korrekt räkning av primtal inom korta intervall, antingen villkorslöst eller baserat på Riemann- hypotesen , men längden på intervallen för vilka detta har bevisats är längre än intervallen mellan på varandra följande kvadrater. länge att bevisa Legendres gissningar.

Delvis resultat

Det följer av ett resultat av Ingham att för alla tillräckligt stora $n$ finns ett primtal mellan de på varandra följande kuberna $n^{3}$ och $(n) +1)^{3}$ .

Baker, Harman och Pintz bevisade att det finns ett primtal i intervallet $[xx^{21/40},\,x]$ för alla stora $x$ .

En tabell med maximala primtalsluckor visar att gissningen gäller åtminstone ${\displaystyle n^{2}=4\cdot 10^{18}} ,$ vilket betyder $n=2\cdot 10^{9}$ .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. , "Legendres förmodan" , MathWorld