Courant fäste

Inom ett matematikfält som kallas differentialgeometri är Courant -parentesen en generalisering av Lie-parentesen från en operation på tangentbunten till en operation på den direkta summan av tangentbunten och vektorbunten av p -former .

Fallet p = 1 introducerades av Theodore James Courant i sin doktorsavhandling från 1990 som en struktur som överbryggar Poisson-geometri och pre-symplektisk geometri , baserat på arbete med hans rådgivare Alan Weinstein . Den vridna versionen av Courant-fästet introducerades 2001 av Pavol Severa och studerades i samarbete med Weinstein.

Idag spelar en komplex version av p =1 Courant-fästet en central roll inom området för generaliserad komplex geometri , introducerad av Nigel Hitchin 2002. Stängning under Courant-fästet är integreringsvillkoret för en generaliserad nästan komplex struktur .

Definition

Låt X och Y vara vektorfält på ett N-dimensionellt reellt grenrör M och låt ξ och η vara p -former. Då är X+ξ och Y+η sektioner av den direkta summan av tangentbunten och bunten av p -former. Courant-parentesen för X+ξ och Y+η definieras som

$[X+\xi ,Y+\ eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i (X)\eta -i(Y)\xi )$

där ${\mathcal {L}}_{X}$ är Lie-derivatan längs vektorfältet X , d är den yttre derivatan och i är den inre produkten .

Egenskaper

Courant-parentesen är antisymmetrisk men den uppfyller inte Jacobi-identiteten för p större än noll.

Jacobi-identiteten

Åtminstone i fallet p=1 är dock Jacobiator, som mäter en parentes misslyckande med att tillfredsställa Jacobi-identiteten, en exakt form . Det är den yttre derivatan av en form som spelar rollen som Nijenhuis-tensor i generaliserad komplex geometri.

Courant-fästet är antisymmetriseringen av Dorfman-fästet , som tillfredsställer en sorts Jacobi-identitet.

Symmetrier

Liksom Lie-parentesen är Courant-parentesen invariant under diffeomorfismer av mångfalden M . Den åtnjuter också en extra symmetri under vektorbuntens automorfism

$X+\xi \mapsto X+\xi +i(X)\alpha$

där α är en sluten p+1 -form. I p=1 , vilket är det relevanta fallet för geometrin för flödeskomprimering i strängteorin , är denna transformation känd i fysiklitteraturen som en förskjutning i B-fältet .

Dirac och generaliserade komplexa strukturer

Cotangensbunten , $}}$ * av M är bunten av differentiella enformer. I fallet p =1 avbildar Courant-parentesen två sektioner av ${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}} ,$ den direkta summan av tangenten och cotangensen buntar, till en annan sektion av ${\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}$ . Fibrerna i ${\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}$ tillåter inre produkter med signatur (N,N) som ges av

$\langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X)).$

Ett linjärt delrum av ${\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}$ där alla vektorpar har noll inre produkt sägs vara ett isotropiskt delrum . Fibrerna i ${\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}$ är 2N -dimensionella och den maximala dimensionen för ett isotropt delrum är N . Ett N -dimensionellt isotropt delrum kallas ett maximalt isotropt delrum.

En Dirac-struktur är en maximalt isotrop subbunt av ${\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}$ vars sektioner är stängda under Courant-parentesen. Dirac-strukturer inkluderar som specialfall symplektiska strukturer , Poisson-strukturer och folierade geometrier .

En generaliserad komplex struktur definieras identiskt, men en tenserar ${\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}$ med de komplexa talen och använder den komplexa dimensionen i ovanstående definitioner och man ålägger att den direkta summan av subbunten och dess komplexa konjugat är hela originalbunten ( T $\oplus$ T ^* ) $\otimes$ C . Specialfall av generaliserade komplexa strukturer inkluderar komplex struktur och en version av Kähler-struktur som inkluderar B-fältet.

Dorfman fäste

1987 introducerade Irene Dorfman Dorfman-fästet [,] _D , som liksom Courant-fästet ger ett integrerbarhetsvillkor för Dirac-strukturer. Den definieras av

$[A,B]_{D}=[A,B]+d\langle A,B\rangle$ .

Dorfman-parentesen är inte antisymmetrisk, men den är ofta lättare att beräkna med än Courant-parentesen eftersom den uppfyller en Leibniz-regel som liknar Jacobi-identiteten

$[A,[B,C]_{D}]_{D}=[[A,B]_{D},C]_{D}+[B,[A,C]_{D }]_{D}.$

Courant algebroid

Courant-parentesen uppfyller inte Jacobi-identiteten och definierar därför inte en Lie-algebroid , dessutom uppfyller den inte Lie-algebroid-villkoret på ankarkartan. Istället definierar den en mer allmän struktur introducerad av Zhang-Ju Liu, Alan Weinstein och Ping Xu känd som en Courant-algebroid .

Twisted Courant fäste

Definition och egenskaper

Courant-parentesen kan vridas med en (p+2) -form H , genom att addera den inre produkten av vektorfälten X och Y av H . Den förblir antisymmetrisk och oföränderlig under tillägg av den inre produkten med en ( p+1) -form B . När B inte är stängd så bevaras denna invarians fortfarande om man adderar dB till det slutliga H .

Om H är stängt är Jacobiator exakt och därför definierar den vridna Courant-parentesen fortfarande en Courant-algebroid. I strängteorin tolkas H som Neveu– Schwarz 3-formen .

p=0 : Cirkel-invarianta vektorfält

När p =0 reduceras Courant-parentesen till Lie-parentesen på en huvudcirkelbunt över M med krökning som ges av den 2-formiga vridningen H . Bunten av 0-former är den triviala bunten, och en sektion av den direkta summan av tangentbunten och trivialbunten definierar ett cirkelinvariant vektorfält på denna cirkelbunt.

Konkret ges en sektion av summan av tangent- och trivialbuntarna av ett vektorfält X och en funktion f och Courant-parentesen är

$[X+f,Y+g]=[X,Y]+Xg-Yf$

som bara är Lie-parentesen för vektorfälten

$[X+f,Y+g]=[X+f{\frac {\ partiell }{\partial \theta }},Y+g{\frac {\partial }{\partial \theta }}]_{Lie}$

där θ är en koordinat på cirkelfibern. Observera särskilt att Courant-parentesen uppfyller Jacobi-identiteten i fallet p=0 .

Integrerade vändningar och gerbes

Krökningen av en cirkelbunt representerar alltid en integrerad kohomologiklass , cirkelknippets Chern-klass . Den ovanstående geometriska tolkningen av den vridna p=0 Courant-parentesen existerar endast när H representerar en integralklass. På liknande sätt vid högre värden på p kan de vridna Courant-parenteserna realiseras geometriskt som otvinnade Courant-parenteser vridna av gerber när H är en integrerad kohomologiklass.

• Courant, Theodore (1990). "Dirac grenrör". Trans. Amer. Matematik. Soc . 319 : 631-661.
• Gualtieri, Marco (2004). Generaliserad komplex geometri (PhD-avhandling). arXiv : math.DG/0401221 .