Cotlar–Stein lemma

Inom matematik , inom området funktionsanalys , är Cotlar –Stein nästan ortogonalitetslemma uppkallad efter matematikerna Mischa Cotlar och Elias Stein . Den kan användas för att erhålla information om operatörsnormen på en operatör, som verkar från ett Hilbert-utrymme till ett annat när operatören kan delas upp i nästan ortogonala delar. Den ursprungliga versionen av detta lemma (för självanslutande och ömsesidigt pendlande operatorer) bevisades av Mischa Cotlar 1955 och tillät honom att dra slutsatsen att Hilbert-transformen är en kontinuerlig linjär operator i $L^{2}$ utan med Fouriertransformen . En mer allmän version bevisades av Elias Stein.

Cotlar–Stein nästan ortogonalitetslemma

Låt $E,\,F$ vara två Hilbert-mellanslag . Betrakta en familj av operatorer $T_{j}$ , $j\geq 1$ , med varje $T_{j}$ en avgränsad linjär operator från $E$ till $F$ .

Beteckna

$a_{jk}=\Vert T_{j}T_{k}^{\ast }\Vert ,\qquad b_{jk}=\Vert T_{j}^{\ast }T_{k}\Vert .$

Familjen av operatorer ${\displaystyle T_{j}:\;E\to F} ,$ j $\displaystyle j\geq 1,}$ är nästan ortogonal om

$A=\sup _{j}\sum _{k}{\sqrt {a_{jk}}}<\infty ,\qquad B=\sup _{j}\sum _{k}{\sqrt {b_{jk}}}<\infty .$

Cotlar–Stein-lemmat säger att om $T_{j}$ är nästan ortogonala, så konvergerar serien $\sum _{j}T_{j}$ i den starka operatortopologin , och det

$\Vert \sum _{j}T_{j}\Vert \leq {\sqrt {AB}}.$

Bevis

Om R ₁ , ..., R _n är en finit samling av begränsade operatorer, då

$\displaystyle {\sum _{i,j}|(R_{i}v,R_{j}v)|\leq \left(\max _{i}\summa _{j}\|R_{ i}^{*}R_{j}\|^{1 \över 2}\höger)\left(\max _{i}\summa _{j}\|R_{i}R_{j}^{* }\|^{1 \över 2}\right)\|v\|^{2}.}$

Så under lemmas hypoteser,

$\displaystyle {\sum _{i,j}|(T_{i}v,T_{j}v)|\leq AB\|v\|^{2}.}$

Det följer att

$\displaystyle {\|\sum _{i=1}^{n}T_{i}v\|^{2} \leq AB\|v\|^{2},}$

och det

$\displaystyle {\|\sum _{i=m}^{n}T_{i}v\|^{2}\leq \sum _{i,j\geq m}|(T_{i} v,T_{j}v)|.}$

Därav delsummorna

$\displaystyle {s_{n}=\summa _{i=1}^{n}T_{i}v}$

bilda en Cauchy-sekvens .

Summan är därför absolut konvergent med gräns som uppfyller den angivna ojämlikheten.

För att bevisa ojämlikheten ovan

$\displaystyle {R=\sum a_{ij}R_{i}^{*}R_{j}}$

med | a _ij | ≤ 1 vald så att

$\displaystyle {(Rv,v)=|(Rv,v)|=\summa |(R_{i}v,R_{j}v)|.}$

Sedan

$\displaystyle {\|R\|^{2m}=\|(R^{*}R)^{m}\|\leq \sum \|R_{i_{1}}^{*}R_ {i_{2}}R_{i_{3}}^{*}R_{i_{4}}\cdots R_{i_{2m}}\|\leq \sum \left(\|R_{i_{1} }^{*}\|\|R_{i_{1}}^{*}R_{i_{2}}\|\|R_{i_{2}}R_{i_{3}}^{*}\ |\cdots \|R_{i_{2m-1}}^{*}R_{i_{2m}}\|\|R_{i_{2m}}\|\right)^{1 \över 2}.}$

Därav

$\displaystyle {\|R\|^{2m}\leq n\cdot \max \|R_{i}\|\left(\max _{i}\summa _{j}\|R_{i }^{*}R_{j}\|^{1 \över 2}\höger)^{2m}\left(\max _{i}\summa _{j}\|R_{i}R_{j} ^{*}\|^{1 \över 2}\höger)^{2m-1}.}$

Att ta 2 m :e rötter och låta m tendera att ∞,

$\displaystyle {\|R\|\leq \left (\max _{i}\summa _{j}\|R_{i}^{*}R_{j}\|^{1 \över 2}\höger)\left(\max _{i}\summa _{j}\|R_{i}R_{j}^{*}\|^{1 \över 2}\höger),}$

vilket omedelbart innebär ojämlikheten.

Generalisering

Det finns en generalisering av Cotlar–Stein-lemmat med summor ersatta av integraler. Låt X vara ett lokalt kompakt utrymme och μ ett Borelmått på X . Låt T ( x ) vara en avbildning från X till avgränsade operatorer från E till F som är likformigt avgränsad och kontinuerlig i den starka operatortopologin. Om

$\displaystyle {A=\sup _{x}\int _{X}\|T(x)^{*}T(y)\|^{1 \över 2}\,d\mu (y ),\,\,\,B=\sup _{x}\int _{X}\|T(y)T(x)^{*}\|^{1 \över 2}\,d\mu (y),}$

är finita, då är funktionen T ( x ) v integrerbar för varje v i E med

$\displaystyle {\|\int _{X}T(x)v\,d\mu (x)\|\leq {\sqrt {AB}}\cdot \|v\|.}$

Resultatet kan bevisas genom att ersätta summor med integraler i föregående bevis eller genom att använda Riemanns summor för att approximera integralerna.

Exempel

Här är ett exempel på en ortogonal familj av operatorer. Betrakta de oändliga dimensionella matriserna

$T=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&\vdots \\0&1&0&\vdots \\0&0&1&\vdots \\\vdots cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right]$

och även

$\qquad T_{1}=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end {array}}\right],\qquad T_{2}=\left[{\begin{array}{cccc}0&0&0&\vdots \\0&1&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right],\qquad T_{3}=\left[{\begin{array}{cccc}0&0&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\0&0&1&\vdots \\\cdots & \cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right],\qquad \dots .$

Sedan $\Vert T_{j}\Vert =1$ för varje $j$ , därav serien $\sum _{j\in \ mathbb {N} }T_{j}$ konvergerar inte i den enhetliga operatortopologin .

Men eftersom $\Vert T_{j}T_{k}^{\ast }\Vert =0$ och $\Vert T_{ j}^{\ast }T_{k}\Vert =0$ för $j\neq k$ , Cotlar–Stein nästan ortogonalitetslemma berättar att

$T=\sum _{j\in \mathbb {N} }T_{j}$

konvergerar i den starka operatortopologin och begränsas av 1.

Anteckningar

• Cotlar, Mischa (1955), "En kombinatorisk ojämlikhet och dess tillämpning på L ² mellanslag", Math. Cuyana , 1 :41–55
•   Hörmander, Lars (1994), Analysis of Partial Differential Operators III: Pseudodifferential Operators (2nd ed.), Springer-Verlag, s. 165–166, ISBN 978-3-540-49937-4
• Knapp, Anthony W.; Stein, Elias (1971), "Flätning av operatörer för semisenkla Lie-grupper", Ann. Matematik. 93 : 489-579
•   Stein, Elias (1993), Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals , Princeton University Press, ISBN 0-691-03216-5