Clifford parallell

I elliptisk geometri är två linjer Clifford parallella eller parataktiska linjer om det vinkelräta avståndet mellan dem är konstant från punkt till punkt. Konceptet studerades först av William Kingdon Clifford i elliptiska rymden och förekommer endast i utrymmen med minst tre dimensioner. Sedan parallella linjer har egenskapen av equidistance, tillägnades termen "parallell" från euklidisk geometri , även om "linjerna" av elliptisk geometri är geodetiska kurvor och, till skillnad från linjerna i euklidisk geometri , är av ändlig längd.

Kvaternions algebra ger en beskrivande geometri av det elliptiska rummet där Cliffords parallellism görs explicit.

Introduktion

Linjerna på 1 i elliptisk rymd beskrivs av versorer med en fast axel r :

$\lbrace e^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace$

För en godtycklig punkt u i det elliptiska rymden går två Clifford-paralleller till denna linje genom u . Den rätta Clifford-parallellen är

$\lbrace ue^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace ,$

och den vänstra Clifford-parallellen är

$\lbrace e^{ar}u:\ 0\leq a<\pi \rbrace .$

Generaliserad Clifford-parallellism

Cliffords ursprungliga definition var krökta parallella linjer, men konceptet generaliserar till Cliffords parallella objekt av mer än en dimension. I det 4-dimensionella euklidiska rymden är Cliffords parallella föremål med 1, 2, 3 eller 4 dimensioner relaterade till isokliniska rotationer . Clifford-parallellism och isokliniska rotationer är närbesläktade aspekter av SO(4) -symmetrierna som kännetecknar de vanliga 4-polytoperna .

Clifford-ytor

Att rotera en linje runt en annan, som den är parallell med Clifford, skapar en Clifford-yta.

Clifforden går parallellt genom punkter på ytan som alla ligger i ytan. En Clifford-yta är alltså en styrd yta eftersom varje punkt är på två linjer som var och en finns i ytan.

Givet två kvadratrötter av minus en i kvarterna , skrivna r och s , ges Cliffordytan genom dem av

$\lbrace e^{ar}e^{bs}:\ 0\leq a,b<\pi \rbrace .$

Historia

Clifford-paralleller beskrevs första gången 1873 av den engelske matematikern William Kingdon Clifford .

År 1900 skrev Guido Fubini sin doktorsavhandling om Cliffords parallellism i elliptiska utrymmen .

1931 använde Heinz Hopf Clifford-paralleller för att konstruera Hopf-kartan .

2016 visade Hans Havlicek att det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan Clifford-parallellismer och plan utanför Klein-kvadricen .

Se även

• Clifford torus
• Vanliga 4-polytoper

Citat

•   Tyrrell, JA; Semple, JG (1971). Generaliserad Clifford-parallellism . Cambridge University Press . ISBN 0-521-08042-8 .
•   Laptev, BL & BA Rozenfel'd (1996) Mathematics of the 19th Century: Geometry , sid 74, Birkhäuser Verlag ISBN 3-7643-5048-2 .
• Duncan Sommerville (1914) The Elements of Non-Euclidean Geometry , sidan 108 Paratactic lines, George Bell & Sons
• Frederick S. Woods (1917) Higher Geometry , "Clifford paralleller", sidan 255, via Internet Archive