Duocylinder

Se även: Polydisc

Stereografisk projektion av duocylinderns ås (se nedan), som en platt torus . Åsen roterar på XW-plan.

Duocylindern , även kallad dubbelcylindern eller bidiscen , är ett geometriskt objekt inbäddat i det 4- dimensionella euklidiska rymden , definierat som den kartesiska produkten av två skivor med respektive radier r ₁ och r ₂ :

$D=\left\{(x,y,z,w )\mid x^{2}+y^{2}\leq r_{1}^{2},\ z^{2}+w^{2}\leq r_{2}^{2}\right\ }$

Det är analogt med en cylinder i 3-utrymme, som är den kartesiska produkten av en skiva med ett linjesegment . Men till skillnad från cylindern är båda hyperytorna (av en vanlig duocylinder) kongruenta .

Dess dubbla är en duospindel, konstruerad av två cirklar, en i XY-planet och den andra i ZW-planet.

Geometri

Avgränsande 3-grenrör

Duocylindern begränsas av två ömsesidigt vinkelräta 3- grenrör med torusliknande ytor , respektive beskrivna av formlerna :

$x^{2}+y^{2}=r_{1}^{2},z^{2}+w ^{2}\leq r_{2}^{2}$

och

$z^{2}+w^{2}=r_{2}^{2},x^{2}+y ^{2}\leq r_{1}^{2}$

Duocylindern kallas så eftersom dessa två gränsande 3-grenrör kan ses som 3-dimensionella cylindrar som är "böjda runt" i 4-dimensionellt utrymme så att de bildar slutna slingor i XY- och ZW- planen . Duocylindern har rotationssymmetri i båda dessa plan.

En vanlig duocylinder består av två kongruenta celler, en kvadratisk platt torusyta (åsen), noll kanter och noll hörn.

Åsen

Duocylinderns ås är 2-grenröret som är gränsen mellan de två gränsande (fasta ) toruscellerna. Det är i form av en Clifford torus , som är den kartesiska produkten av två cirklar. Intuitivt kan den konstrueras enligt följande: Rulla en 2-dimensionell rektangel till en cylinder, så att dess övre och nedre kanter möts. Rulla sedan cylindern i planet vinkelrätt mot det 3-dimensionella hyperplanet som cylindern ligger i, så att dess två cirkulära ändar möts.

Den resulterande formen är topologiskt ekvivalent med en euklidisk 2- torus (en munkform). Men till skillnad från den senare är alla delar av dess yta identiskt deformerade. På (2D-ytan, inbäddad i 3D) munken deformeras ytan runt 'munkhålet' med negativ krökning (som en sadel) medan ytan utanför deformeras med positiv krökning (som en sfär).

Kanten på duocylindern kan ses som den faktiska globala formen på skärmarna i videospel som Asteroids , där att gå utanför kanten på ena sidan av skärmen leder till den andra sidan. Den kan inte bäddas in utan distorsion i 3-dimensionell rymd, eftersom den kräver två frihetsgrader ("riktningar") utöver sin inneboende 2-dimensionella yta för att båda kanteparen ska kunna sammanfogas.

Duocylindern kan konstrueras från 3-sfären genom att "skiva" av 3-sfärens utbuktning på vardera sidan av åsen. Analogen till detta på 2-sfären är att rita mindre latitudcirklar vid ±45 grader och skära av utbuktningen mellan dem, lämna en cylindrisk vägg och skära av topparna, lämna platta toppar. Denna operation motsvarar att ta bort utvalda hörn/pyramider från polytoper , men eftersom 3-sfären är jämn/regelbunden måste du generalisera operationen.

Den dihedriska vinkeln mellan de två 3-d hyperytorna på vardera sidan av åsen är 90 grader.

Projektioner

Parallella projektioner av duocylindern i det 3-dimensionella rummet och dess tvärsnitt med 3-dimensionellt utrymme bildar båda cylindrar. Perspektivprojektioner av duocylindern bildar torusliknande former med "munkhålet" ifyllt.

Relation till andra former

Duocylindern är den begränsande formen av duoprismor när antalet sidor i de ingående polygonala prismorna närmar sig oändligheten. Duoprismerna fungerar därför som goda polytopiska approximationer av duocylindern.

I 3-utrymme kan en cylinder anses vara mellanliggande mellan en kub och en sfär . I 4-mellanrum finns det tre mellanformer mellan tesserakten (1- kula × 1-kula × 1-kula × 1-kula) och hypersfären ( 4- kula ). Dom är:

• cubinderen (2-kula × 1-kula × 1-kula), vars yta består av fyra cylindriska celler och en kvadratisk torus.
• sfärindern (3-ball × 1-ball), vars yta består av tre celler - två sfärer , och området däremellan.
• duocylindern (2-ball × 2-ball) , vars yta består av två toroidceller.

Duocylindern är den enda av ovanstående tre som är vanlig. Dessa konstruktioner motsvarar de fem partitionerna av 4, antalet dimensioner.

Se även

• Clifford torus
• Duoprism
• Platt torus
• Hoppfibrering
• Grenrör

• The Fourth Dimension Simply Explained , Henry P. Manning, Munn & Company, 1910, New York. Tillgänglig från University of Virginias bibliotek. Också tillgänglig online: The Fourth Dimension Simply Explained — innehåller en beskrivning av duoprismer och duocylindrar (dubbelcylindrar)
•   The Visual Guide To Extra Dimensions: Visualizing The Fourth Dimension, Higher-Dimensional Polytopes, And Curved Hypersurfaces , Chris McMullen, 2008, ISBN 978-1438298924

externa länkar

• Rotachora (4-dimensionella objekt med cirkulära ytor)
• Klassificering av rotatoper
• Diagram av duocylinder projicerade i 3-dimensionell rymden
• Utforska hyperrymden med den geometriska produkten

( Wayback Machine -kopia)