Clifford bunt

I matematik är en Clifford-bunt en algebrabunt vars fibrer har strukturen som en Clifford-algebra och vars lokala trivialiseringar respekterar algebrastrukturen. Det finns en naturlig Clifford-bunt som är associerad med vilken som helst ( pseudo ) Riemannmanifold M som kallas Clifford-bunten av M.

Allmän konstruktion

Låt V vara ett ( reellt eller komplext ) vektorrum tillsammans med en symmetrisk bilinjär form <·,·>. Clifford -algebra Cℓ ( V ) är en naturlig ( enhetsassociativ ) algebra som genereras av V endast föremål för relationen

v^{2}=-\langle v,v\rangle

för alla v i V . Man kan konstruera Cℓ ( V ) som en kvot av tensoralgebra för V med idealet som genereras av ovanstående relation.

Liksom andra tensoroperationer kan denna konstruktion utföras fibervis på en slät vektorbunt . Låt E vara en jämn vektorbunt över ett jämnt grenrör M och låt g vara en jämn symmetrisk bilinjär form på E . Clifford -knippet av E är fiberknippet vars fibrer är de Clifford-algebror som genereras av fibrerna i E :

C\ell (E)=\coprod _{x\in M}C\ell (E_{x},g_{x })

Topologin för Cℓ ( E ) bestäms av den för E via en associerad buntkonstruktion .

Man är oftast intresserad av fallet där g är positivt-definitivt eller åtminstone icke degenererat ; det vill säga när ( E , g ) är ett Riemannskt eller pseudo-Riemannskt vektorknippe. För att vara konkret, anta att ( E , g ) är ett Riemannsk vektorknippe. Clifford-bunten av E kan konstrueras enligt följande. Låt Cℓ _n R vara Clifford-algebra som genereras av R ⁿ med den euklidiska metriken . Standardverkan av den _ortogonala gruppen O ( n ) på Rn inducerar en graderad automorfism av CℓnR ^. Homomorfismen

\rho :\mathrm {O} (n)\to \mathrm {Aut} (C\ell _{n}\mathbb {R} )

bestäms av

\rho (A)(v_{1}v_{2}\cdots v_ {k})=(Av_{1})(Av_{2})\cdots (Av_{k})

där v _i är alla vektorer i R ⁿ . Clifford-bunten av E ges sedan av

C\ell (E)=F(E)\ gånger _{\rho }C\ell _{n}\mathbb {R}

där F ( E ) är det ortonormala ramknippet av E. Det är tydligt från denna konstruktion att strukturgruppen för Cℓ ( E ) är O( n ). Eftersom O( n ) verkar genom graderade automorfismer på Cℓ _n R följer det att Cℓ ( E ) är ett knippe av Z ₂ -graderade algebror över M . Clifford-paketet Cℓ ( E ) kan sedan delas upp i jämna och udda delpaket:

C\ell (E)=C\ell ^{0}(E)\oplus C\ell ^{1}(E).

Om vektorknippet E är orienterbart kan man reducera strukturgruppen av Cℓ ( E ) från O( n ) till SO( n ) på naturligt sätt.

Clifford-bunt av ett Riemann-grenrör

Om M är ett Riemann-grenrör med metriskt g , så är Clifford-knippet av M Clifford-knippet som genereras av tangentknippet TM . Man kan också bygga en Clifford-bunt av cotangensbunten T * M . Metriken inducerar en naturlig isomorfism TM = T * M och därför en isomorfism Cℓ ( TM ) = Cℓ ( T * M ).

Det finns en naturlig vektorknippeisomorfism mellan Clifford-knippet av M och det yttre knippet av M :

C\ell (T^{*}M)\cong \Lambda (T^{*}M).

Detta är en isomorfism av vektorbuntar inte algebrabuntar. Isomorfismen induceras från motsvarande isomorfism på varje fiber. På detta sätt kan man tänka på sektioner av Clifford-bunten som differentialformer på M utrustade med Clifford-multiplikation snarare än kilprodukten (som är oberoende av metriken).

Ovanstående isomorfism respekterar graderingen i den meningen att

{\begin{aligned}C\ell ^{0}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {even} }(T^{*}M)\\C\ell ^ {1}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {odd} }(T^{*}M).\end{aligned}}

Lokal beskrivning

För en vektor $v\in T_{x}M$ vid $x\in M$ , och en form $\psi \ i \Lambda (T_{x}M)$ definieras Clifford-multiplikationen som

$v\psi =v\wedge \psi +v\lrcorner \psi$ ,

där den metriska dualiteten för att ändra vektor till en form används i den första termen.

Sedan kan den yttre derivatan $d$ och samderivatan $\delta$ relateras till den metriska anslutningen $\{e_ {a}\}$ $\displaystyle \nabla }$ med valet av en ortonormal bas { av

$d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =-e^{a }\lrcorner \nabla _{e_{a}}$ .

Med dessa definitioner definieras Dirac-Kähler-operatören av

$D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta$ .

På en stjärndomän kan operatorn inverteras med Poincare-lemma för yttre derivata och dess Hodge-stjärndual för samderivata . Det praktiska sättet att göra detta är genom homotopi- och kohomotopioperatorer .

Se även

Anteckningar

^ Det finns ett godtyckligt val av tecken i definitionen av en Clifford-algebra. I allmänhet kan man ta v ² = ±< v , v >. I differentialgeometri är det vanligt att använda (−) teckenkonventionen.
^ ^a ^b Benn, Ian M.; Tucker, Robin W. (1987). En introduktion till spinorer och geometri med tillämpningar i fysik . A. Hilger. ISBN 978-0-85274-169-6 .
^ Graf, Wolfgang (1978). "Differentialformer som spinorer" . Annales de l'institut Henri Poincaré. Sektion A, Physique Théorique . 29 (1): 85–109. ISSN 2400-4863 .
^ ^a ^b Kycia, Radosław Antoni (2022). "Poincare Lemma för kodifferentiella, anticoexakta former och tillämpningar till fysik" . Resultat i matematik . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1422-6383 . S2CID 221802588 .
^ Kycia, Radosław Antoni (2020). "Poincare Lemma, antiexakta former och fermionisk kvantharmonisk oscillator" . Resultat i matematik . 75 (3): 122. doi : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 253586364 .

Berline, Nicole ; Getzler, Ezra ; Vergne, Michèle (2004). Värmekärnor och Dirac-operatörer . Grundlehren Text Editions (Paperback ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-20062-2 . Zbl 1037.58015 .
Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spinngeometri . Princeton Mathematical Series. Vol. 38. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5 . Zbl 0688.57001 .

[1] Det finns ett godtyckligt val av tecken i definitionen av en Clifford-algebra. I allmänhet kan man ta v ² = ±< v , v >. I differentialgeometri är det vanligt att använda (−) teckenkonventionen.

[:0-2] Benn, Ian M.; Tucker, Robin W. (1987). En introduktion till spinorer och geometri med tillämpningar i fysik . A. Hilger. ISBN 978-0-85274-169-6 .

[3] Graf, Wolfgang (1978). "Differentialformer som spinorer" . Annales de l'institut Henri Poincaré. Sektion A, Physique Théorique . 29 (1): 85–109. ISSN 2400-4863 .

[:1-4] Kycia, Radosław Antoni (2022). "Poincare Lemma för kodifferentiella, anticoexakta former och tillämpningar till fysik" . Resultat i matematik . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1422-6383 . S2CID 221802588 .

[5] Kycia, Radosław Antoni (2020). "Poincare Lemma, antiexakta former och fermionisk kvantharmonisk oscillator" . Resultat i matematik . 75 (3): 122. doi : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 253586364 .