Homotopi kategori av kedjekomplex

Inom homologisk algebra i matematik är homotopikategorin K(A) av kedjekomplex i en additiv kategori A ett ramverk för att arbeta med kedjehomotoper och homotopiekvivalenser. Den ligger mellan kategorin av kedjekomplex Kom(A) av A och den härledda kategorin D(A) av A när A är abelisk ; till skillnad från den förra är den en triangulerad kategori , och till skillnad från den senare kräver dess bildande inte att A är abelisk. Filosofiskt, medan D(A) förvandlar alla kartor av komplex som är kvasiisomorfismer i Kom(A) till isomorfismer , gör K(A) det endast för de som är kvasi-isomorfismer av en "god anledning", nämligen att faktiskt ha en invers upp till homotopiekvivalens. K(A) är alltså mer förståeligt än D(A) .

Definitioner

Låt A vara en additiv kategori . Homotopikategorin K(A) är baserad på följande definition: om vi har komplex A , B och kartor f , g från A till B , är en kedjehomotopi från f till g en samling av kartor $h^{n}\colon A^{n}\to B^{n-1}$ ( inte en karta över komplex) så att

$f^{n}-g^{n}=d_{B}^{n-1}h^{ n}+h^{n+1}d_{A}^{n},$ eller helt enkelt $fg=d_{B}h+hd_{A}.$

Detta kan avbildas som:

Vi säger också att f och g är kedjehomotopiska , eller att $fg$ är noll-homotop eller homotopisk till 0 . Det framgår av definitionen att kartorna över komplex som är nollhomotopa bildar en grupp under addition.

Homotopikategorin för kedjekomplex K(A) definieras sedan enligt följande: dess objekt är desamma som objekten i Kom(A) , nämligen kedjekomplex . Dess morfismer är "kartor över komplex modulo homotopi": det vill säga vi definierar en ekvivalensrelation

$f\sim g\$ om f är homotopiskt med g

och definiera

$\operatorname {Hom} _{K(A)}(A,B)=\operatörsnamn {Hom} _{Kom(A)}(A,B)/\sim$

att vara kvoten av detta förhållande. Det är tydligt att detta resulterar i en additiv kategori om man noterar att detta är detsamma som att ta kvoten av undergruppen av noll-homotopiska kartor.

Följande varianter av definitionen används också i stor utsträckning: om man bara tar bounded-under ( A ⁿ =0 för n<<0 ), bounded-above ( A ⁿ =0 för n>>0 ), eller bounded ( A ^{n ) .} =0 för |n|>>0 ) komplex istället för obundna, man talar om kategorin bounded-below homotopi etc. De betecknas med K ⁺ (A) , K ⁻ (A) respektive K ^b (A) . .

En morfism $f:A\rightarrow B$ som är en isomorfism i K(A) kallas en homotopiekvivalens . I detalj betyder detta att det finns en annan karta $g:B\rightarrow A$ , så att de två kompositionerna är homotopiska till identiteterna: $f\circ g \sim Id_{B}$ och $g\circ f\sim Id_{A}$ .

Namnet "homotopi" kommer från det faktum att homotopiska kartor av topologiska utrymmen inducerar homotopiska (i ovanstående mening) kartor av singulära kedjor .

Anmärkningar

Två kedjehomotopa kartor f och g inducerar samma kartor på homologi eftersom (f - g) skickar cykler till gränser , som är noll i homologi. I synnerhet är en homotopi-ekvivalens en kvasi-isomorfism . (Det omvända är falskt i allmänhet.) Detta visar att det finns en kanonisk funktion $K(A)\högerpil D(A)$ till den härledda kategorin (om A är abelsk ) .

Den triangulerade strukturen

Skiftet A[1] för ett komplex A är följande komplex

$A[1]:...\to A^{n+1}{\xrightarrow {d_{A[1]}^{n}}}A^{n+2}\to ...$ (observera att ${\displaystyle (A[1])^{n}=A^{n+1}} )$ ,

där differentialen är $d_{A[1]}^{n}:=-d_{A}^{n+1}$ .

För konen av en morfism f tar vi kartläggningskonen . Det finns naturliga kartor

$A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]$

Detta diagram kallas en triangel . Homotopikategorin K(A) är en triangulerad kategori , om man definierar distingerade trianglar att vara isomorfa (i K(A) , dvs homotopi ekvivalent) med trianglarna ovan, för godtyckliga A , B och f . Detsamma gäller för de avgränsade varianterna K ⁺ (A) , K ⁻ (A) och K ^b (A) . Även om trianglar också är meningsfulla i Kom(A) , är den kategorin inte triangulerad med avseende på dessa distingerade trianglar; till exempel,

$X{\xrightarrow {id}}X\to 0\to$

särskiljs inte eftersom könen i identitetskartan inte är isomorf till komplexet 0 (dock är nollkartan $C(id)\to 0$ en homotopiekvivalens, så att denna triangel är särskiljs i K(A) ). Vidare är rotationen av en distingerad triangel uppenbarligen inte särskiljd i Kom(A) , men (mindre uppenbart) särskiljs i K(A) . Se referenserna för detaljer.

Generalisering

definieras homotopikategorin Ho(C) för en differentiell graderad kategori C för att ha samma objekt som C , men morfismer definieras av $\operatörsnamn {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}\operatörsnamn {Hom} _{C}(X,Y)$ . (Detta kokar ner till homotopin av kedjekomplex om C är kategorin av komplex vars morfismer inte behöver respektera differentialerna). Om C har koner och skiftar i lämplig mening, så är Ho(C) också en triangulerad kategori.

•   Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Methods of Homological Algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
•     Weibel, Charles A. (1994). En introduktion till homologisk algebra . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4 . MR 1269324 . OCLC 36131259 .