Cellulär approximationssats

Inom algebraisk topologi , säger den cellulära approximationssatsen att en karta mellan CW-komplex alltid kan tas för att vara av en specifik typ. Konkret, om X och Y är CW-komplex, och f : X → Y är en kontinuerlig karta, så sägs f vara cellulär , om f tar n - skelettet av X till n -skelettet av Y för alla n , dvs om $f(X^{n})\subseteq Y^{n}$ för alla n . Innehållet i den cellulära approximationssatsen är då att varje kontinuerlig karta f : X → Y mellan CW-komplexen X och Y är homotop till en cellulär karta, och om f redan är cellulär på ett subkomplex A av X , så kan vi dessutom välja homotopin att vara stationär på A . Ur en algebraisk topologisk synvinkel kan varje karta mellan CW-komplex således anses vara cellulär.

Idé om bevis

Beviset kan ges genom induktion efter n , med påståendet att f är cellulärt på skelettet X ⁿ . För basfallet n=0, lägg märke till att varje sökvägskomponent i Y måste innehålla en 0-cell. Bilden under f av en 0-cell av X kan alltså kopplas till en 0-cell av Y med en väg, men detta ger en homotopi från f till en karta som är cellulär på 0-skelettet av X.

Antag induktivt att f är cellulärt på ( n − 1)-skelettet av X , och låt e ⁿ vara en n -cell av X . Stängningen av e ⁿ är kompakt i X , vilket är bilden av den karakteristiska kartan av cellen, och följaktligen är bilden av stängningen av e n ^under f också kompakt i Y . Sedan är det ett allmänt resultat av CW-komplex att varje kompakt delrum av ett CW-komplex möter (det vill säga skär icke-trivialt) endast ändligt många celler i komplexet. Således f ( e ⁿ ) som mest ändligt många celler av Y , så vi kan ta $e^{k}\subseteq Y$ för att vara en cell med högsta dimension som möter f ( e ⁿ ). Om ${\displaystyle k\leq n} är$ kartan f redan cellulär på e ⁿ , eftersom i detta fall endast celler i n -skelettet av Y möter f ( e ⁿ ), så vi kan anta att k > n . Det är då ett tekniskt, icke-trivialt resultat (se Hatcher) att begränsningen av f till $X^{n-1}\cup e^{n}$ kan homotoperas i förhållande till X ^n-1 till en karta som saknar en punkt p ∈ e ^k . Eftersom Y ^k − { p } deformation dras tillbaka till delrummet Y ^k - e ^k , kan vi ytterligare homotopa begränsningen av f till $X^{n-1}\cup e^{n }$ till en karta, säg, g , med egenskapen att g ( e ⁿ ) missar cellen e ^k för Y , fortfarande i förhållande till X ^n-1 . Eftersom f ( e ⁿ ) bara träffade ändligt många celler i Y till att börja med, kan vi upprepa denna process ändligt många gånger för att få $f(e^{n})$ att missa alla celler i Y av dimension större än n .

Vi upprepar denna process för varje n -cell av X , fixerar celler i subkomplexet A på vilka f redan är cellulärt, och vi får på så sätt en homotopi (relativt ( n − 1)-skelettet av X och n -cellerna i A ) av begränsningen av f till X ⁿ till en karta cellulär på alla celler med X med dimension som högst n . Genom att sedan använda egenskapen homotopy extension för att utöka detta till en homotopi på hela X , och lappa ihop dessa homotopier, kommer bevisningen att slutföras. För detaljer, kontakta Hatcher.

Ansökningar

Vissa homotopigrupper

Den cellulära approximationssatsen kan användas för att omedelbart beräkna vissa homotopigrupper . Speciellt om $n<k,$ så är $\pi _{n}(S^{k})=0.$ Ge ${ \displaystyle S^{n}}$ och $S^{k}$ deras kanoniska CW struktur, med en 0-cell vardera och med en n -cell för $S^{n}$ och en $S^{k}.$ - cell för Vilken baspunktsbevarande karta $f\colon S^{n}\to S^{k}$ är då homotopisk till en karta vars bild ligger i n -skelettet av $S^{k},$ som endast består av baspunkten. Det vill säga att varje sådan karta är nullhomotopisk.

Celluppskattning för par

Låt f : (X,A) → (Y,B) vara en karta över CW-par , det vill säga f är en karta från X till Y , och bilden av $A\subseteq X\,$ under f sitter inuti B . Då f homotop till en cellulär karta (X,A) → (Y,B) . För att se detta, begränsa f till A och använd cellulär approximation för att få en homotopi av f till en cellulär karta på A . Använd egenskapen homotopiförlängning för att utöka denna homotopi till hela X , och tillämpa cellulär approximation igen för att erhålla en karta cellulär på X , men utan att bryta mot den cellulära egenskapen på A.

Som en konsekvens har vi att ett CW-par (X,A) är n-anslutet , om alla celler i $XA$ har en dimension som är strikt större än n : Om $i\leq n\,$ , då är vilken karta som helst $(D^{i},\partial D^{i})\,$ → (X,A) homotop till en cellulär karta över par, och eftersom n -skelettet av X sitter inuti A , är varje sådan karta homotopisk till en karta vars bild är i A , och därför är den 0 i den relativa homotopigruppen ${\displaystyle \$ . Vi har särskilt att $(X,X^{n})\,$ är n -kopplad, så det följer av den långa exakta sekvensen av homotopigrupper för paret $(X,X^{n})\,$ att vi har isomorfismer $\pi _{i}(X^{n})\,$ → $\pi _{i}(X)\,$ för alla $i<n\,$ och en översikt $\pi _{n}(X ^{n})\,$ → $\pi _{n}(X)\,$ .

CW approximation

För varje rum X kan man konstruera ett CW-komplex Z och en svag homotopi-ekvivalens $f\colon Z\to X$ som kallas en CW-approximation till X . CW-approximation, som är en svag homotopi -ekvivalens, inducerar isomorfismer på homologi- och kohomologigrupper av X. Sålunda kan man ofta använda CW-approximation för att reducera ett allmänt påstående till en enklare version som endast berör CW-komplex.

CW approximation är konstruerad genom att inducera på skelettet $Z_{i}$ av $Z$ , så att kartorna ${\displaystyle (f_{i})_{*}\colon \pi _{k}(Z_{i})\to \pi _{k}(X)} är isomorfa för k < i {\$ displaystyle $}$ och är på för $k=i$ (för valfri baspunkt). Sedan byggs ${\displaystyle Z_{i+1}} från$$Z_{i}$ genom att bifoga (i+1)-celler som (för alla baspunkter)

• är kopplade av mappningarna $S^{i}\to Z_{i}$ som genererar kärnan av ${\displaystyle \pi _{i }(Z_{i})\to \pi _{i}(X)} ($ och mappas till X genom sammandragningen av motsvarande sfäroider)
• är fästa med konstanta mappningar och mappas till X för att generera $\pi _{i+1}(X)$ (eller $\pi _{i+1}(X)/(f_{i})_{*}(\pi _{i+1}(Z_{i}))$ ).

Den cellulära approximationen säkerställer då att addering av (i+1)-celler inte påverkar $\pi _{k}(Z_{i}){\stackrel { \cong }{\to }}\pi _{k}(X)$ för $k<i$ , medan $\pi _{i}(Z_{i })$ blir faktoriserad av klasserna för bifogade mappningar $S^{i}\to Z_{i}$ för dessa celler som ger $\pi _{i}(Z_{i+1}){\stackrel {\cong }{\to }}\pi _{i}(X)$ . Surjektivitet för $\pi _{i+1}(Z_{i+1})\to \pi _{i+1}( X)$ framgår av det andra steget av konstruktionen.

•   Hatcher, Allen (2005), Algebraisk topologi , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1