Cartier isomorfism

I algebraisk geometri är Cartier -isomorfismen en viss isomorfism mellan kohomologiskivorna av de Rham-komplexet av en slät algebraisk variation över ett fält av positiva egenskaper , och skivorna av differentiella former på Frobenius-vridningen av sorten. Den är uppkallad efter Pierre Cartier . Intuitivt visar det att de Rham-kohomologi i positiv egenskap är ett mycket större objekt än man kan förvänta sig. Det spelar en viktig roll i Delignes och Illusies närmande till degenerationen av Hodge-de Rham-spektralsekvensen .

Påstående

Låt k vara ett fält med egenskap p > 0, och låt ${\textstil f:X\to S}$ vara en morfism av k -scheman . Låt $X^{(p)}=X\ gånger _{S,\varphi }S$ beteckna Frobenius-vridningen och låt ${ \displaystyle F:X\to X^{(p)}}$ vara den relativa Frobenius . Cartier -kartan definieras som den unika morfismen

$$C^{-1}:\bigoplus _{i\geq 0}\ Omega _{X^{(p)}/S}^{i}\to \bigoplus _{i\geq 0}{\mathcal {H}}^{i}(F_{*}\Omega _{X/ S}^{\bullet })$$

av graderad ${\textstyle {\mathcal {O}}_{X^{(p)}}}$ -algebror så att $C^{-1}(d(x\otimes 1))=[x^{p-1}dx]$ för alla lokala avsnitt x av ${\mathcal {O}} _{X}$ . (Här, för att Cartier-kartan ska vara väldefinierad i allmänhet, är det väsentligt att man tar kohomologiskivor för codomänen.) Cartier- isomorfismen är då påståendet att kartan $C^{-1}$ är en isomorfism om $f$ är en jämn morfism.

I det ovanstående har vi formulerat Cartier-isomorfismen i den form som den är vanligast förekommande (t.ex. i Katz 1970 ) . I sin ursprungliga artikel ansåg Cartier faktiskt den omvända kartan i en mer restriktiv miljö, varav notationen $C^{-1}$ för Cartier-kartan.

Jämnhetsantagandet är inte nödvändigt för att Cartier-kartan ska vara en isomorfism. Till exempel har man det för ind-släta morfismer eftersom båda sidor av Cartier-kartan pendlar med filtrerade kogränser . Enligt Popescus teorem har man då Cartier-isomorfismen för en regelbunden morfism av noetherska k -scheman. Ofer Gabber har också bevisat en Cartier-isomorfism för värderingsringar . I en annan riktning kan man helt och hållet avstå från sådana antaganden om man istället arbetar med härledd de Rham-kohomologi (som nu tar den associerade graderingen av konjugatfiltreringen) och cotangenskomplexets yttre krafter .