Hodge–de Rham spektralsekvens

Inom matematiken är Hodge–de Rhams spektralsekvens (uppkallad efter WVD Hodge och Georges de Rham ) en alternativ term som ibland används för att beskriva Frölichers spektralsekvens (uppkallad efter Alfred Frölicher, som faktiskt upptäckte den). Denna spektrala sekvens beskriver det exakta förhållandet mellan Dolbeault-kohomologin och de Rham-kohomologin för en allmän komplex mångfald . På ett kompakt Kähler-grenrör degenererar sekvensen, vilket leder till Hodge-nedbrytningen av de Rham -kohomologin.

Beskrivning av spektralsekvensen

Den spektrala sekvensen är som följer:

$H^{q}(X,\Omega ^{p})\Rightarrow H^{p+q}(X,\mathbf {C} )$

där X är ett komplext grenrör , $H^{p+q}(X,\mathbf {C} )$ är dess kohomologi med komplexa koefficienter och den vänstra termen, som är E $E_{1}$ -sidan i spektralsekvensen är kohomologin med värden i bunten holomorfa differentialformer . Förekomsten av den spektrala sekvensen som anges ovan följer av Poincaré-lemma , som ger en kvasi-isomorfism av komplex av kärvar

$\mathbf {C} \rightarrow \Omega ^{*}:=[\Omega ^{0}{\stackrel {d}{\to }}\Omega ^{1}{\stackrel {d}{\to }}\cdots \to \Omega ^{\dim X}],$

tillsammans med den vanliga spektralsekvensen som härrör från ett filtrerat objekt, i detta fall Hodge-filtreringen

$F^{p}\Omega ^{*}:=[\cdots \to 0\to \Omega ^{p} \to \Omega ^{p+1}\to \cdots ]$

av $\Omega ^{*}$ .

Degeneration

Den centrala satsen relaterad till denna spektrala sekvens är att för ett kompakt Kähler-grenrör X , till exempel en projektiv varietet , degenererar ovanstående spektralsekvens vid $E_{1}$ -sidan. I synnerhet ger det en isomorfism som kallas Hodge-nedbrytningen

$\bigoplus _{p+q=n}H^{p}(X,\Omega ^{q})=H^{n}(X,\mathbf {C} ).$

Degenerationen av spektralsekvensen kan visas med hjälp av Hodge-teori . En förlängning av denna degeneration i en relativ situation, för en ordentlig jämn karta $f:X\to S$ , visades också av Deligne.

Rent algebraiskt bevis

För jämna korrekta varianter över ett fält med karakteristisk 0, kan spektralsekvensen också skrivas som

$H^{p}(X,\Omega ^{q})\Högerpil H^{p+q}(X, \Omega ^{*}),$

där $\Omega ^{q}$ betecknar bunten av algebraiska differentialformer (även känd som Kähler-differentialer ) på X , $\Omega ^{*}$ är det (algebraiska) de Rham-komplexet , bestående av $\Omega ^{q}$ med differentialen som den yttre derivatan . I denna skepnad är alla termer i spektralsekvensen av rent algebraisk (i motsats till analytisk) natur. I synnerhet är frågan om degenerationen av denna spektrala sekvens meningsfull för sorter över ett fält med karakteristiska p >0.

Deligne & Illusie (1987) visade att för ett jämnt korrekt schema X över ett perfekt fält k med positiv karakteristik p , degenererar spektralsekvensen, förutsatt att dim( X )< p och X medger ett jämnt korrekt lyft över ringen av Witt-vektorer W ₂ ( k ) med längd två (till exempel för k = F _p , skulle denna ring vara Z / p ² ). Deras bevis använder sig av Cartier-isomorfismen , som endast existerar i positiv karaktär. Detta degenereringsresultat i karakteristiken p >0 kan sedan användas för att också bevisa degenerationen för spektralsekvensen för X över ett fält med karakteristiken 0.

Icke-kommutativ version

De Rham-komplexet och även de Rham-kohomologin av en mängd medger generaliseringar till icke-kommutativ geometri. Denna mer allmänna uppställning studerar GD-kategorier . Till en dg-kategori kan man associera dess Hochschild-homologi , och även dess periodiska cykliska homologi. När de appliceras på kategorin perfekta komplex på en jämn riktig variant X , ger dessa invarianter tillbaka differentialformer, respektive de Rham-kohomologi av X . Kontsevich och Soibelman antog 2009 att för varje jämn och korrekt dg-kategori C över ett fält med karakteristisk 0, degenererar Hodge-de Rham-spektralsekvensen som börjar med Hochschild-homologi och gränsar till periodisk cyklisk homologi:

$HH_{*}(C/k)[u^{\pm 1}]\Rightarrow HP_{*}(C/k).$

Denna gissning bevisades av Kaledin (2008) och Kaledin (2016) genom att anpassa ovanstående idé av Deligne och Illusie till allmänningen av smidiga och korrekta dg-kategorier. Mathew (2017) har gett ett bevis på denna degeneration med topologisk Hochschild-homologi .

Se även

• Frölicher spektralsekvens
• Hodge teori
• Jacobian ideal - användbart för att beräkna kohomologi av Hodge-nedbrytning

Källor

•      Frölicher, Alfred (1955), "Relations between the cohomology groups of Dolbeault and topological invariants", Proceedings of the National Academy of Sciences , 41 ( 9): 641–644, doi : 10.1073/pnas.41.9.641 , JSTOR 89147 , MR 0073262 , PMC 528153 , PMID 16589720

•   Deligne, Pierre ; Illusie, Luc (1987), "Relèvements modulo p ² et décomposition du complexe de de Rham", Invent. Matematik. , 89 (2): 247–270, Bibcode : 1987InMat..89..247D , doi : 10.1007/bf01389078 , S2CID 119635574

•    Kaledin, D. (2008), "Non-ham-method via the-mutation of Deligne-Illusie", Pure and Applied Mathematics Quarterly , 4 (3): 785–876, arXiv : math/0611623 , doi : 10.4310/PAMQ.2008.v4.n3.a8 , MR 24354CID5 , 7354CID5 , S735ID5, S735ID5 , S735ID5

• , 7354823 2016), Spektralsekvenser för cyklisk homologi , arXiv : 1601.00637 , Bibcode : 2016arXiv160100637K

•   Mathew, Akhil (2020), "Kaledins degenerationsteorem och topologiska Hochschild-homologi", (6,204 & Topology ): 7,204 Topology , 226, Geometry: 7,264 iv : 1710.09045 , Bibcode : 2017arXiv171009045M , doi : 10.2140/gt.2020.24.2675 , S2CID 119591893