G-ring

I kommutativ algebra är en G-ring eller Grothendieck ring en Noetherian ring så att kartan över någon av dess lokala ringar till avslutningen är regelbunden (definierad nedan). Nästan alla Noether-ringar som förekommer naturligt i algebraisk geometri eller talteori är G-ringar, och det är ganska svårt att konstruera exempel på Noether-ringar som inte är G-ringar. Konceptet är uppkallat efter Alexander Grothendieck .

En ring som är både en G-ring och en J-2-ring kallas en quasi-excellent ring , och om den dessutom är universellt kontaktledning kallas den för en excellent ring .

Definitioner

En (noeterisk) ring R som innehåller ett fält k kallas geometriskt regelbunden över k om ringen R ⊗ _k K för någon ändlig förlängning K av k är en vanlig ring .
En homomorfism av ringar från R till S kallas regelbunden om den är platt och för varje p ∈ Spec( R ) är fibern S ⊗ _R k ( p ) geometriskt regelbunden över restfältet k ( p ) av p . (se även Popescus sats .)
En ring kallas en lokal G-ring om det är en Noethersk lokal ring och kartan till dess komplettering (med hänsyn till dess maximala ideal) är regelbunden.
En ring kallas en G-ring om den är Noetherian och alla dess lokaliseringar vid främsta ideal är lokala G-ringar. (Det räcker att kontrollera detta bara för de maximala idealen, så i synnerhet lokala G-ringar är G-ringar.)

Exempel

Varje fält är en G-ring
Varje komplett Noetherian lokal ring är en G-ring
Varje ring av konvergent potensserie i ett ändligt antal variabler över R eller C är en G-ring.
Varje Dedekind-domän i karakteristik 0, och i synnerhet ringen av heltal, är en G-ring, men i positiv egenskap finns det Dedekind-domäner (och till och med diskreta värderingsringar) som inte är G-ringar.
Varje lokalisering av en G-ring är en G-ring
Varje ändligt genererad algebra över en G-ring är en G-ring. Detta är ett teorem som beror på Grothendieck.

₀ Här är ett exempel på en diskret värderingsring A med karakteristiken p >0 som inte är en G-ring. Om k är något fält med karakteristiken p med [ k : k ^p ] = ∞ och R = k [[ x ]] och A är subringen av potensserien Σ a _i x ⁱ sådan att [ k ^p ( a , a ₁ , ...): k ^p ] är ändlig så är den formella fibern i A över den generiska punkten inte geometriskt regelbunden så A är inte en G-ring. Här k ^p bilden av k under Frobenius-morfismen a → a ^p .

A. Grothendieck, J. Dieudonné, Eléments de géométrie algébrique IV Publ. Matematik. IHES 24 (1965), avsnitt 7
H. Matsumura, kommutativ algebra ISBN 0-8053-7026-9 , kapitel 13.