Bousfield lokalisering

Inom kategoriteori , en gren av matematik, ersätter en (vänster) Bousfield-lokalisering av en modellkategori modellstrukturen med en annan modellstruktur med samma kofibreringar men med svagare ekvivalenser.

Bousfield lokalisering är uppkallad efter Aldridge Bousfield , som först introducerade denna teknik i samband med lokalisering av topologiska utrymmen och spektra.

Modellkategoristruktur för Bousfield-lokaliseringen

Givet en klass C av morfismer i en modellkategori M är den vänstra Bousfield-lokaliseringen en ny modellstruktur i samma kategori som tidigare. Dess ekvivalenser, samfibrer och fibrer är respektive

• de C -lokala ekvivalenserna
• de ursprungliga samfibrerna av M

och (nödvändigtvis, eftersom samfibrer och svaga ekvivalenser bestämmer fibrerna)

• kartorna har den rätta lyftegenskapen med avseende på kofibreringarna i M som också är C -lokala ekvivalenser.

I denna definition är en C -lokal ekvivalens en karta $f\colon X\to Y$ som, grovt sett, inte gör någon skillnad vid avbildning till ett C -lokalt objekt. Mer exakt, $f^{*}\colon \operatorname {map} (Y,W)\to \operatorname {map} (X ,W)$ måste vara en svag ekvivalens (av enkla uppsättningar ) för vilket C -lokalt objekt W som helst . Ett objekt W kallas C -lokalt om det är fibrant (i M ) och

$s^{*}\colon \operatorname {map} (B,W)\to \operatorname {map} (A,W)$

är en svag ekvivalens för alla kartor $s\colon A\to B$ i C . Notationskartan $\operatorname {map} (-,-)$ är, för en generell modellkategori (inte nödvändigtvis över enkla uppsättningar) en viss enkel uppsättning vars uppsättning vägkomponenter överensstämmer med morfismer i homotopikategorin M : _

$\pi _{0}(\operatörsnamn {karta} (X,Y))=\operatörsnamn {Hom} _{Ho(M)}(X,Y).$

Om M är en enkel modellkategori (såsom, säg, enkla mängder eller topologiska utrymmen), så kan "karta" ovan antas vara det härledda förenklade mappningsutrymmet för M.

Denna beskrivning gör inga påståenden om förekomsten av denna modellstruktur, för vilket se nedan.

Dubbelt finns det en föreställning om höger Bousfield-lokalisering , vars definition erhålls genom att ersätta kofibreringar med fibrer (och vända riktningar för alla pilar).

Existens

Den vänstra Bousfield-lokaliseringsmodellstrukturen, som beskrivs ovan, är känd för att existera i olika situationer, förutsatt att C är en uppsättning:

• M lämnas korrekt (dvs utskjutningen av en svag ekvivalens längs en kofibrering är återigen en svag ekvivalens) och kombinatorisk
• M lämnas korrekt och cellulär.

Kombinatorisk och cellularitet hos en modellkategori garanterar i synnerhet en stark kontroll över samfibrerna av M .

På liknande sätt existerar den rätta Bousfield-lokaliseringen om M är korrekt och cellulär eller kombinatorisk och C är en uppsättning.

Universell egendom

Lokaliseringen $C[W^{-1}]$ av en (vanlig) kategori C med avseende på en klass W av morfismer uppfyller följande universella egenskap:

• Det finns en funktion $C\to C[W^{-1}]$ som skickar alla morfismer i W till isomorfismer.
• Vilken funktion som helst $C\to D$ som skickar W till isomorfismer i D -faktorer unikt över den tidigare nämnda funktorn.

Bousfield-lokaliseringen är den lämpliga analoga föreställningen för modellkategorier, med tanke på att isomorfismer i vanlig kategoriteori ersätts av svaga ekvivalenser. Det vill säga, (vänster) Bousfield-lokaliseringen $L_{C}M$ är sådan att

• Det finns en vänster Quillen- funktor $M\to L_{C}M$ vars vänstra härledda funktor skickar alla morfismer i C till svaga ekvivalenser.
• Vilken som helst vänster Quillen-funktion $M\to N$ vars vänsterhärledda funktor skickar C till svaga ekvivalensfaktorer unikt genom $M\to L_{C}M$ .

Exempel

Lokalisering och komplettering av ett spektrum

Lokalisering och komplettering av ett spektrum vid ett primtal p är båda exempel på Bousfield-lokalisering, vilket resulterar i ett lokalt spektrum. Om man till exempel lokaliserar sfärspektrumet S vid p , erhåller man en lokal sfär $S_{(p)}$ .

Stabil modellstruktur på spektra

Den stabila homotopikategorin är homotopikategorin (i betydelsen modellkategorier) av spektra, utrustad med den stabila modellstrukturen. Den stabila modellstrukturen erhålls som en vänster Bousfield-lokalisering av nivån (eller projektiv) modellstrukturen på spektra, vars svaga ekvivalenser (fibrationer) är de kartor som är svaga ekvivalenser (fibrationer, respektive) på alla nivåer.

Morita modellstruktur på GD-kategorier

Morita modellstruktur på kategorin små dg-kategorier är Bousfield-lokalisering av standardmodellstrukturen (den för vilken de svaga ekvivalenserna är kvasi-ekvivalenserna).

Se även

• Lokalisering av ett topologiskt utrymme

• Hirschhorn, Model Categories and Their Localizations , AMS 2002
• Frånvaro av kartor mellan p-lokala och q-lokala spektra

externa länkar

• Bousfield lokalisering i nlab .
• J. Lurie, Föreläsning 20 i Chromatic Homotopy Theory (252x).