Bootstrapping (ekonomi)

Inom finans är bootstrapping en metod för att konstruera en ( nollkupong ) räntekurva från priserna på en uppsättning kupongbärande produkter, t.ex. obligationer och swappar .

En bootstrappad kurva , på motsvarande sätt, är en där priserna på instrumenten som används som indata till kurvan, kommer att vara en exakt utdata , när samma instrument värderas med denna kurva . Här återvinns termstrukturen för spotavkastning från obligationsräntorna genom att lösa dem rekursivt, genom forward substitution : denna iterativa process kallas bootstrap-metoden .

Nyttan med bootstrapping är att med endast ett fåtal noggrant utvalda nollkupongprodukter blir det möjligt att härleda par- swapräntor (forward och spot) för alla löptider givet den lösta kurvan.

Metodik

Analytiskt exempel: Givet: 0,5-årig avistaränta, Z1 = 4%, och 1-årig avistaränta, Z2 = 4,3% (vi kan få dessa räntor från statsskuldväxlar som är nollkupong); och pariräntan på en 1,5-årig halvårlig kupongobligation, R3 = 4,5%. Vi använder sedan dessa kurser för att beräkna 1,5 års avistakurs. Vi löser den 1,5-åriga spoträntan, Z3, med formeln nedan: ${\ displaystyle 100={(4.5/2) \over (1+4\%/2)^{1}}+{(4.5/2) \over (1+4.3\%/2)^{2}}+{ (100+4,5/2) \over (1+Z_{3}/2)^{3}}}$ $Z_{3}$ är 4,51 %.

Som nämnts ovan är valet av ingående värdepapper viktigt, med tanke på att det finns en generell brist på datapunkter i en avkastningskurva (det finns bara ett fast antal produkter på marknaden). Ännu viktigare, eftersom ingående värdepapper har olika kupongfrekvenser, är valet av ingångsvärdepapper avgörande. Det är vettigt att konstruera en kurva av nollkuponginstrument från vilken man kan prissätta vilken avkastning som helst, vare sig den är på termin eller avista, utan att behöva mer extern information. Observera att vissa antaganden (t.ex. interpolationsmetoden ) alltid kommer att krävas.

Allmän metodik

Den allmänna metoden är följande: (1) Definiera uppsättningen av avkastningsprodukter - dessa kommer i allmänhet att vara kupongbärande obligationer; (2) Härled diskonteringsfaktorer för motsvarande villkor - dessa är obligationernas interna avkastningsräntor; (3) "Bootstrap" nollkupongkurvan och kalibrerar successivt denna kurva så att den returnerar priserna på indata. En generiskt angiven algoritm för det tredje steget är följande; för mer detaljer se Avkastningskurvan § Konstruktion av hela avkastningskurvan från marknadsdata .

För varje insatsinstrument, gå igenom dessa när det gäller ökad mognad:

• lösa analytiskt för nollhastigheten där detta är möjligt (se exempel på sidofältet)
• om inte, lös iterativt (inledningsvis med hjälp av en approximation) så att priset på instrumentet i fråga blir exakt utmatat när det beräknas med hjälp av kurvan (observera att kursen som motsvarar detta instruments löptid löses; kurser mellan detta datum och tidigare lösta instrumentets löptid interpoleras)
• när de är lösta, spara dessa priser och fortsätt till nästa instrument.

När den löses enligt beskrivningen här kommer kurvan att vara arbitragefri i den meningen att den är exakt överensstämmande med de valda priserna; se Rationell prissättning § Räntebärande värdepapper och Obligationsvärdering § Arbitragefri prissättningsmetod . Observera att vissa analytiker istället kommer att konstruera kurvan så att den resulterar i en bästa passform "genom" insatspriserna, i motsats till en exakt matchning, med en metod som Nelson-Siegel .

Oavsett tillvägagångssätt finns det dock ett krav på att kurvan ska vara arbitragefri i en andra mening: att alla terminsräntor är positiva. Mer sofistikerade metoder för kurvkonstruktionen – oavsett om de är inriktade på en exakt- eller en bästa passform – kommer dessutom att inrikta sig på kurvans "jämnhet" som en utgång, och valet av interpolationsmetod här, för hastigheter som inte är direkt specificerade, kommer då att vara viktigt.

Forward substitution

En mer detaljerad beskrivning av forward substitutionen är följande. För varje steg i den iterativa processen är vi intresserade av att härleda den n-åriga nollkupongräntan, även känd som internräntan för nollkupongobligationen. Eftersom det inte finns några mellanliggande betalningar på denna obligation (all ränta och kapitalbelopp realiseras i slutet av n år) kallas det ibland för n-årig avistaränta. För att härleda denna kurs observerar vi att det teoretiska priset på en obligation kan beräknas som nuvärdet av de kassaflöden som ska erhållas i framtiden. När det gäller swapräntor vill vi ha pari obligationsränta (swappar prissätts till pari när de skapas) och därför kräver vi att nuvärdet av framtida kassaflöden och kapitalbelopp är lika med 100 %.

$_ 1=C_{n}\cdot \Delta _{1}\cdot df_{1}+C_{n}\cdot \Delta _{2}\cdot df_{2}+C_{n}\cdot \Delta _{ 3}\cdot df_{3}+\cdots +(1+C_{n}\cdot \Delta _{n})\cdot df_{n}}$

därför

$df_{n}={(1-\summa _{i =1}^{n-1}C_{n}\cdot \Delta _{i}\cdot df_{i}) \over (1+C_{n}\cdot \Delta _{n})}$

(denna formel är just framåtriktad substitution )

var

• $C_{n}$ är kupongräntan för den n-åriga obligationen
• $\Delta _{i}$ är längden, eller dagräkningsfraktionen , av perioden $[i-1;i]$ , i år
• $df_{i}$ är rabattfaktorn för den tidsperioden
• $df_{n}$ är diskonteringsfaktorn för hela perioden, från vilken vi härleder nollräntan.

Senaste praktiken

Efter finanskrisen 2007–2008 sker värderingen av swappar vanligtvis under ett ramverk med flera kurvor och säkerheter; ovanstående, däremot, beskriver "självdiskonteringsmetoden".

Enligt det nya ramverket, vid värdering av en Libor-baserad swap: (i) de prognostiserade kassaflödena härleds från Libor-kurvan, (ii) dessa kassaflöden diskonteras dock till den OIS-baserade kurvans dagslåneränta, i motsats till vid Libor . Resultatet är att kurvor i praktiken byggs som en "uppsättning" och inte individuellt, där på motsvarande sätt: (i) "prognoskurvor" konstrueras för varje flytande bens Libor-tenor ; och (ii) diskontering sker på en enda gemensam OIS-kurva som samtidigt måste konstrueras.

Anledningen till förändringen är att dagslåneräntan efter krisen är den ränta som betalas på säkerheten (variationsmarginalen) som ställs av motparter på de flesta CSA :er . Terminsvärdena för dagslåneräntan kan avläsas från dagslåneindexswapkurvan. "OIS-diskontering" är nu standard och kallas ibland för " CSA -diskontering".

Se: Finansiell ekonomi § Derivatprissättning för sammanhang; Ränteswap § Värdering och prissättning för matematiken.

Se även

• Avkastningskurva § Konstruktion av hela avkastningskurvan från marknadsdata
• Räntetilldelning § Modellering av avkastningskurvan
• Flerkurv ram
• Gittermodell (finans) § Räntederivat - diskuterar kortränte "träd" konstruerade med ett analogt tillvägagångssätt.
• Användning av företagsekonomi:
  • Leveraged buyout
  • Entreprenörskap § Bootstrapping

Referenser

Standardtexter

•   William F. Sharpe; Gordon J. Alexander; Jeffery V. Bailey (1998). Investeringar . Prentice Hall International. ISBN 0-13-011507-X .
•   John C. Hull (2009). Optioner, terminer och andra derivat (sjunde upplagan). Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-601586-4 .

externa länkar

• Excel Bootstrapper , janroman.dhis.org
• Bootstrapping steg-för-steg , bus.umich.edu