Aubin–Lions lemma

I matematik är Aubin -Lions lemma (eller sats ) resultatet i teorin om Sobolev-rum med Banach-rymdvärderade funktioner, vilket ger ett kompaktitetskriterium som är användbart i studiet av icke-linjära evolutionära partiella differentialekvationer . Vanligtvis, för att bevisa existensen av lösningar, konstruerar man först ungefärliga lösningar (till exempel genom en Galerkin-metod eller genom mollifiering av ekvationen), och använder sedan kompakthetslemma för att visa att det finns en konvergent undersekvens av ungefärliga lösningar vars gräns är en lösning .

₀ Resultatet är uppkallat efter de franska matematikerna Jean-Pierre Aubin och Jacques-Louis Lions . I det ursprungliga beviset av Aubin antogs mellanslagen X och X ₁ i lemmasatsen vara reflexiva , men detta antagande togs bort av Simon, så resultatet kallas också för Aubin–Lions–Simon-lemmat .

Uttalande av lemma

₀₀₀ Låt X , X och X ₁ vara tre Banach-mellanslag med X ⊆ X ⊆ X ₁ . Antag att X är kompakt inbäddad i X och att X kontinuerligt är inbäddad i X ₁ . För ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty } ,$ låt

$W=\{u\in L^{p}([0,T];X_{0})\mid {\dot {u}}\in L^{q}([0,T]; X_{1})\}.$

(i) Om ${\displaystyle p<\infty } så$ är inbäddningen av W i $L^{p}([0,T];X)$ kompakt.

(ii) Om $p=\infty$ och $q>1$ då inbäddningen av W i $C([0,T ];X)$ är kompakt.

Se även

• Lions–Magenes lemma

Anteckningar

•   Aubin, Jean-Pierre (1963). "Un théorème de compacité. (franska)". CR Acad. Sci. Paris . Vol. 256. s. 5042–5044. MR 0152860 .
•    Barrett, John W.; Süli, Endre (2012). "Reflektioner över Dubinskiis olinjära kompakta inbäddningsteorem". Publications de l'Institut Mathématique (Belgrad) . Ny serie. 91 (105): 95–110. arXiv : 1101.1990 . doi : 10.2298/PIM1205095B . MR 2963813 . S2CID 12240189 .
•   Boyer, Franck; Fabrie, Pierre (2013). Matematiska verktyg för studier av de inkompressibla Navier-Stokes-ekvationerna och relaterade modeller . Applied Mathematical Sciences 183. New York: Springer. s. 102–106. ISBN 978-1-4614-5975-0 . (Sat II.5.16)
•   Lions, JL (1969). Quelque methodes de résolution des problemes aux limites non lineaires . Paris: Dunod-Gauth. Vill. MR 0259693 .
•   Roubíček, T. (2013). Icke-linjära partiella differentialekvationer med tillämpningar (2:a upplagan). Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-0512-4 . (Avsnitt 7.3)
•    Showalter, Ralph E. (1997). Monotone operatorer i Banachs rymd och olinjära partiella differentialekvationer . Matematiska undersökningar och monografier 49. Providence, RI: American Mathematical Society. sid. 106. ISBN 0-8218-0500-2 . MR 1422252 . (Proposition III.1.3)
•    Simon, J. (1986). "Kompakta mängder i utrymmet L ^p (O,T;B)" . Annali di Matematica Pura ed Applicata . 146 : 65–96. doi : 10.1007/BF01762360 . MR 0916688 . S2CID 123568207 .
•   Chen, X.; Jüngel, A.; Liu, J.-G. (2014). "En anteckning om Aubin-Lions-Dubinskii lemman". Acta Appl. Matematik . Vol. 133. s. 33–43. MR 3255076 .