Lions–Magenes lemma

Inom matematik är Lions -Magenes lemma (eller sats ) resultatet i teorin om Sobolev-rum av Banach -rymdvärderade funktioner, vilket ger ett kriterium för att flytta en tidsderivata av en funktion ur dess verkan (som en funktionell) på själva funktionen.

Uttalande av lemma

₀₀₀₀₀ Låt X , X och X ₁ vara tre Hilbertrum med X ⊆ X ⊆ X ₁ . Antag att X är kontinuerligt inbäddad i X och att X är kontinuerligt inbäddad i X ₁ , och att X ₁ är det dubbla rummet av X . Beteckna normen på X med || · || _X , och beteckna verkan av X ₁ på X med $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ . Antag för vissa $T>0$ att $u\in L^{2}([0,T];X_{0})$ är så att dess tidsderivata ${\dot {u}}\in L^{2}([0,T];X_{1})$ . Då $u$ nästan överallt lika med en funktion kontinuerlig från $\displaystyle [0,T]}$ till $X$ , och dessutom gäller följande likhet i betydelsen skalära fördelningar på $(0,T)$ :

${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\|u\|_{X}^ {2}=\langle {\dot {u}},u\rangle$

Ojämlikheten ovan är meningsfull, eftersom funktionerna

$t\rightarrow \|u\|_{X}^{2},\quad t\rightarrow \langle { \dot {u}}(t),u(t)\rangle$

är båda integrerbara på $[0,T]$ .

Se även

• Aubin–Lions lemma

Anteckningar

Det är viktigt att notera att detta lemma inte sträcker sig till fallet där $u\in L^{p}([0,T];X_{0})$ är sådan att dess tidsderivata ${\dot {u}}\in L^{q}([0,T];X_{1})$ för $1/p+1/q>1$ . Till exempel är det inte känt att energijämlikheten för de 3-dimensionella Navier–Stokes-ekvationerna $u\in L^{2}([0,T];H^{1})$ för svaga lösningar, eftersom en svag lösning $u$ endast är känd för att uppfylla och ${\displaystyle {\ punkt {u}}\in L^{4/3}([0,T];H^{-1})} ($ där $H^{1}$ är ett Sobolev-mellanslag och $H^{-1}$$) {\displaystyle { \dot {u}}\in L^{2}([0,T];H^{-1})} ,$ dess dubbla utrymme , vilket inte räcker för att tillämpa Lions–Magnes-lemmat (man skulle behöva men detta är inte känt för att vara sant för svaga lösningar).

• Temam, Roger (2001). Navier-Stokes ekvationer: teori och numerisk analys . Providence, RI: AMS Chelsea Publishing. s. 176–177. (Lemma 1.2)

• Lions, Jacques L.; Magenes, Enrico (1972). Icke-homogena gränsvärden problem och tillämpningar . Berlin, New York: Springer-Verlag.