Transfer (gruppteori)

Inom det matematiska området gruppteori definierar överföringen , givet en grupp G och en undergrupp av finita index H , en grupphomomorfism från G till abelianiseringen av H . Det kan användas tillsammans med Sylows satser för att få vissa numeriska resultat på förekomsten av ändliga enkla grupper.

Överföringen definierades av Issai Schur ( 1902 ) och återupptäcktes av Emil Artin ( 1929 ).

Konstruktion

Konstruktionen av kartan fortsätter enligt följande: Låt [ G : H ] = n och välj coset- representanter , säg

x_{1},\dots ,x_{n},\,

för H i G , så G kan skrivas som en disjunkt förening

G=\bigcup \ x_{i}H.

Givet y i G , är varje yx _i i någon coset x _j H och så

yx_{i}=x_{j}h_{i}

för något index j och något element hi _i H . Värdet av överföringen för y definieras som bilden av produkten

\textstyle \prod _{i=1}^{n}h_{i}

i H / H ′, där H ′ är kommutatorundergruppen till H . Faktorernas ordning är irrelevant eftersom H / H ′ är abelsk.

Det är enkelt att visa att även om det individuella h _i beror på valet av medgruppsrepresentanter, så gör inte värdet av överföringen det. Det är också enkelt att visa att kartläggningen som definieras på detta sätt är en homomorfism.

Exempel

Om G är cyklisk tar överföringen vilket element y som helst av G till y ^{[ G : H ]} .

Ett enkelt fall är det som ses i Gauss-lemmat om kvadratiska rester , som i själva verket beräknar överföringen för den multiplikativa gruppen av restklasser som inte är noll modulo ett primtal p , med avseende på undergruppen {1, −1}. En fördel med att se det på det sättet är hur lätt den korrekta generaliseringen kan hittas, till exempel för kubiska rester i det fall att p − 1 är delbart med tre.

Homologisk tolkning

Denna homomorfism kan sättas i ett sammanhang av grupphomologi . I allmänhet, givet vilken som helst undergrupp H av G och vilken G -modul A som helst , finns det en sammandragningskarta över homologigrupper $\mathrm {Cor } :H_{n}(H,A)\to H_{n}(G,A)$ inducerad av inklusionskartan $i:H\to G$ , men om vi har det H är av ändligt index i G , det finns även restriktionskartor $\mathrm {Res} :H_{n}(G,A)\ till H_{n}(H,A)$ . I fallet med n = 1 och $A=\mathbb {Z}$ med den triviala G -modulstrukturen har vi kartan $\mathrm {Res} :H_{1}(G,\mathbb {Z} )\to H_{1}(H,\mathbb {Z} )$ . Notera att $H_{1}(G,\mathbb {Z} )$ kan identifieras med $G/G'$ där $G'$ är kommutatorundergruppen, detta ger överföringskartan via $G\xrightarrow {\pi } G/G'\xrightarrow {\mathrm {Res} } H/H'$ , med $\pi$ som betecknar den naturliga projektionen. Överföringen ses också i algebraisk topologi , när den definieras mellan klassificeringsutrymmen av grupper.

Terminologi

Namnöverföringen översätter tyska Verlagerung , som myntades av Helmut Hasse .

Kommutatorundergrupp

Om G genereras ändligt, har kommutatorundergruppen G ' av G ändligt index i G och H=G ', då är den motsvarande överföringskartan trivial. Med andra ord, kartan skickar G till 0 i abelianiseringen av G ′. Detta är viktigt för att bevisa huvudidealsatsen i klassfältteorin . Se anteckningarna från Emil Artin - John Tate Class Field Theory .

Se även

Focal subgroup theorem , en viktig tillämpning av överföring
Enligt Artins ömsesidighetslag beskriver Artin-överföringen principaliseringen av ideala klasser i förlängningar av algebraiska talfält.

Artin, Emil (1929), "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 ( 1): 46–51, doi : 10.1007 /BF02941159 , S24751521
Schur, Issai (1902), "Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 1013–1019, JFM 33.0146.01
Scott, WR (1987) [1964]. Gruppteori . Dover. s. 60 ff. ISBN 0-486-65377-3 . Zbl 0641.20001 .
Serre, Jean-Pierre (1979). Lokala fält . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 67. Översatt av Greenberg, Marvin Jay . Springer-Verlag . s. 120–122. ISBN 0-387-90424-7 . Zbl 0423.12016 .