Motsatt grupp

Detta är en naturlig transformation av binär operation från en grupp till dess motsats. ⟨ g ₁ , g ₂ ⟩ anger det ordnade paret av de två gruppelementen. *' kan ses som den naturligt inducerade additionen av +.

Inom gruppteorin , en gren av matematiken , är en motsatt grupp ett sätt att konstruera en grupp från en annan grupp som gör att man kan definiera högerhandling som ett specialfall av vänsterhandling .

Monoider , grupper, ringar och algebror kan ses som kategorier med ett enda objekt. Konstruktionen av den motsatta kategorin generaliserar den motsatta gruppen, den motsatta ringen , etc.

Definition

Låt $G$ vara en grupp under operationen $*$ . Den motsatta gruppen av $G$ , betecknad $G^{\mathrm {op} }$ , har samma underliggande uppsättning som $G$ , och dess gruppoperation ${\ displaystyle {\mathbin {\ast '}}}$ definieras av $g_{1}{\mathbin {\ast '}}g_{2}=g_{2 }*g_{1}$ .

Om $G$ är abelian , då är det lika med dess motsatta grupp. Dessutom är varje grupp $G$ (inte nödvändigtvis abelian) naturligt isomorf till sin motsatta grupp: En isomorfism $\varphi :G\to G^{\mathrm {op} }$ ges av $\varphi (x)=x^{-1}$ . Mer generellt ger all antiautomorfism $\psi :G\to G$ upphov till en motsvarande isomorfism $\psi ':G\to G^{\mathrm {op} }$ via $\psi '(g)=\psi (g)$ , eftersom

$\psi '(g*h)=\psi (g*h)=\psi (h)*\psi (g)=\psi (g){\mathbin {\ast '}}\psi (h )=\psi '(g){\mathbin {\ast '}}\psi '(h).$

Gruppåtgärder

Låt $X$ vara ett objekt i någon kategori, och $\rho :G\to \mathrm {Aut} (X)$ vara en rätt handling . Då är $\rho ^{\mathrm {op} }:G^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Aut} (X)$ en vänsteråtgärd definierad av ${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }(g)x=x\rho (g)} ,$ eller $g^{\mathrm {op} }x=xg$ .

Se även

• Motsatt ring
• Motsatt kategori

externa länkar

• http://planetmath.org/oppositegroup