Artins kriterium

I matematik är Artins kriterier en samling av relaterade nödvändiga och tillräckliga villkor för deformationsfunktioner som bevisar representabiliteten av dessa funktorer som antingen algebraiska utrymmen eller som algebraiska stackar . I synnerhet används dessa förhållanden vid konstruktionen av modulstapeln av elliptiska kurvor och konstruktionen av modulstapeln av spetsiga kurvor .

Notation och tekniska anteckningar

Låt $S$ vara ett schema av ändlig typ över ett fält $k$ eller en utmärkt DVR . $p:F\to (Sch/S)$ kommer att vara en kategori som består av gruppoider , $F(X)$ kommer att vara gruppoiden som ligger över $X\to S$ .

$\ {X_{i}\}_{i\in I}$ stack $F$ limit bevarande om den är kompatibel med filtrerade direkta gränser i $Sch/S$ , vilket betyder givet ett filtrerat system det finns en likvärdighet mellan kategorier

$\lim _{\rightarrow }F(X_{i})\to F(\lim _{\rightarrow }X_{i})$

Ett element av $x\in F(X)$ kallas ett algebraiskt element om det är henseliseringen av en ${\mathcal {O}}_{S}$ - algebra av finit typ.

$Sch/S$ gränsbevarande stack $F$ över en algebraisk stack om

1. För alla elementpar $x\in F(X),y\in F(Y)$ fiberprodukten $X\times _{F}Y$ representeras som ett algebraiskt rum
2. Det finns ett schema $X\to S$ lokalt av ändlig typ, och ett element $x\in F(X)$ som är jämnt och surjektivt så att för alla $y\in F(Y)$ den inducerade kartan $X\times _{F}Y\to Y$ är jämn och surjektiv.

Se även

• Artins approximationssats
• Schlessingers teorem

• Deformationsteori och algebraiska stackar - översikt över Artins artiklar och relaterad forskning