Leray–Hirsch-satsen

Inom matematik är Leray -Hirsch-satsen ett grundläggande resultat på fiberbuntarnas algebraiska topologi . Den är uppkallad efter Jean Leray och Guy Hirsch , som oberoende bevisade den i slutet av 1940-talet. Det kan ses som en mild generalisering av Künneth-formeln , som beräknar kohomologin för ett produktutrymme som en tensorprodukt av kohomologierna för de direkta faktorerna. Det är ett mycket speciellt fall av Leray-spektralsekvensen .

Påstående

Uppstart

Låt $\pi \colon E\longrightarrow B$ vara ett fiberknippe med fiber $F$ . Antag att för varje grad $p$ , det singulära kohomologins rationella vektorrummet

$H^{p}(F)=H^{p}(F;\mathbb {Q})$

är ändlig dimensionell, och att inkluderingen

$\iota \colon F\longrightarrow E$

inducerar en operation i rationell kohomologi

$\iota ^{*}\colon H^{*}(E)\longrightarrow H^{*}(F)$ .

Överväg ett avsnitt av denna operation

$s\colon H^{*}(F)\longrightarrow H^{*}(E)$ ,

per definition uppfyller denna karta

$\iota ^{*}\circ s=\mathrm {Id}$ .

Leray-Hirsch-isomorfismen

Leray-Hirsch-satsen säger att den linjära kartan

${\begin{array}{ccc}H^{*}(F )\otimes H^{*}(B)&\longrightarrow &H^{*}(E)\\\alpha \otimes \beta &\longmapsto &s(\alpha )\smallsmile \pi ^{*}(\beta ) \end{array}}$

är en isomorfism av $H^{*}(B)$ -moduler.

Uttalande i koordinater

det finns klasser för varje $p$

$c_{1,p},\ldots ,c_{m_{p},p}\in H^{p}(E)$

som begränsar, på varje fiber $F$ , till en basis av kohomologin i grad $p$ , kartan nedan är då en isomorfism av $H^{*} (B)$ moduler .

${\begin{array}{ccc}H^{*}(F)\otimes H^{*}(B)&\longrightarrow &H^{ *}(E)\\\summa _{i,j,k}a_{i,j,k}\iota ^{*}(c_{i,j})\otimes b_{k}&\longmapsto &\ summa _{i,j,k}a_{i,j,k}c_{i,j}\wedge \pi ^{*}(b_{k})\end{array}}$

där $\{b_{k}\}$ är en bas för $H^{*}(B)$ och därmed inducerar en bas $\{\iota ^{*}(c_{i,j})\otimes b_{k}\}$ för $H^{*}(F)\otimes H^{*}(B).$