Uppdelningsprincip

Inom matematiken är uppdelningsprincipen en teknik som används för att reducera frågor om vektorbuntar till fallet med linjebuntar .

I teorin om vektorbuntar vill man ofta förenkla beräkningar, säg om Chern-klasser . Ofta är beräkningar väl förstådda för linjebuntar och för direkta summor av linjebuntar. I det här fallet kan uppdelningsprincipen vara ganska användbar.

Sats — Låt $\xi \colon E\rightarrow X$ vara en vektorbunt av rang $n$ över ett parakompakt utrymme $X$ . Det finns ett mellanslag $Y=Fl(E)$ , kallat flaggpaketet associerat med $E$ , och en karta $p\colon Y \rightarrow X$ så att

1. den inducerade kohomomorfismen ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)} är$ injektiv, och
2. pullback-bunten $p^{*}\xi \colon p^{*}E\högerpil Y$ delas upp som en direkt summa av linjebuntar: $p^{*}(E)=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{n}.$

Satsen ovan gäller för komplexa vektorbuntar och heltalskoefficienter eller för reella vektorbuntar med $\mathbb {Z} _{2}$ koefficienter. I det komplexa fallet kallas linjebuntarna $L_{i}$ eller deras första karakteristiska klasser Chern-rötter.

Det faktum att ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)} är$ injektiv betyder att alla ekvationer som gäller i $H^{*}(Y)$ (säg mellan olika Chern-klasser) gäller även i $H^{*}(X)$ .

Poängen är att dessa ekvationer är lättare att förstå för direkta summor av linjebuntar än för godtyckliga vektorbuntar, så ekvationer bör förstås i $Y$ och sedan tryckas ner till $X$ .

Eftersom vektorbuntar på $X$ används för att definiera K-teorigruppen K $\displaystyle K(X)} ,$ är det viktigt att notera att $p^{*}\colon K(X)\rightarrow K(Y)$ är också injektiv för kartan $p$ i ovanstående sats.

Uppdelningsprincipen tillåter många variationer. Följande gäller i synnerhet verkliga vektorbuntar och deras komplexisering :

Sats — Låt $\xi \colon E\rightarrow X$ vara en reell vektorbunt av rang $2n$ över ett parakompakt utrymme $X$ . Det finns ett mellanslag $Y$ och en karta $p\colon Y\rightarrow X$ så att

1. den inducerade kohomomorfismen ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)} är$ injektiv, och
2. pullback-bunten $p^{*}\xi \colon p^{*}E\högerpil Y$ delas upp som en direkt summa av linjebuntar och deras konjugat: $p^{*}(E\otimes \mathbb {C} )=L_{1}\oplus {\overline {L_{1}}}\oplus \cdots \oplus L_{n}\oplus {\overline {L_{n}}}.$

Symmetriskt polynom

Enligt uppdelningsprincipen motsvarar karakteristiska klasser för komplexa vektorbuntar symmetriska polynom i de första Chern-klasserna av komplexa linjebuntar; det här är Chern-klasserna .

Se även

• K-teori
• Grothendieck-delningsprincip för holomorfa vektorbuntar på den komplexa projektiva linjen

• Hatcher, Allen (2003), Vector Bundles & K-Theory (2.0 ed.) avsnitt 3.1
• Raoul Bott och Loring Tu. Differentialformer i algebraisk topologi , avsnitt 21.