Överstrålningsfasövergång

Schematisk plot av ordningsparametern för Dicke-övergången, som är noll i normalfasen och ändlig i superstrålningsfasen. Insatsen visar den fria energin i de normala och superstrålande faserna

Inom kvantoptik är en överstrålningsfasövergång en fasövergång som sker i en samling fluorescerande strålare (som atomer), mellan ett tillstånd som innehåller få elektromagnetiska excitationer (som i det elektromagnetiska vakuumet ) och ett överstrålningstillstånd med många elektromagnetiska excitationer fångade inuti utsläppen. Superstrålningstillståndet görs termodynamiskt gynnsamt genom att ha starka, koherenta växelverkan mellan strålarna.

Den överstrålningsfasövergången förutspåddes ursprungligen av Dicke-modellen för superstrålning , som antar att atomer endast har två energinivåer och att dessa interagerar med endast ett läge för det elektromagnetiska fältet. Fasövergången inträffar när styrkan i interaktionen mellan atomerna och fältet är större än energin hos den icke-interagerande delen av systemet. (Detta liknar fallet med supraledning i ferromagnetism , vilket leder till den dynamiska växelverkan mellan ferromagnetiska atomer och den spontana ordningen av excitationer under den kritiska temperaturen.) Det kollektiva Lamb Shift , relaterat till systemet av atomer som interagerar med vakuumfluktuationerna , blir jämförbar med enbart atomernas energier, och vakuumfluktuationerna orsakar den spontana självexciteringen av materia.

Övergången kan lätt förstås genom användningen av Holstein-Primakoff-transformationen applicerad på en tvånivåatom . Som ett resultat av denna transformation blir atomerna Lorentz harmoniska oscillatorer med frekvenser lika med skillnaden mellan energinivåerna. Hela systemet förenklas sedan till ett system av interagerande harmoniska oscillatorer av atomer, och fältet känt som Hopfield-dielektrikum som ytterligare förutsäger i normalt tillstånd polaroner för fotoner eller polaritoner . Om interaktionen med fältet är så stark att systemet kollapsar i den harmoniska approximationen och komplexa polaritonfrekvenser (mjuka lägen) uppstår, så blir det fysiska systemet med olinjära termer av högre ordning systemet med den mexikanska hattliknande potentialen , och kommer att genomgå ferroelektrisk-liknande fasövergång. I denna modell är systemet matematiskt ekvivalent för en excitationsmod med det trojanska vågpaketet , när den cirkulärt polariserade fältintensiteten motsvarar den elektromagnetiska kopplingskonstanten. Över det kritiska värdet ändras det till joniseringens instabila rörelse .

Överstrålningsfasövergången var föremål för en bred diskussion om huruvida den bara är ett resultat av den förenklade modellen för materia-fältinteraktionen; och om det kan inträffa för de verkliga fysiska parametrarna för fysiska system (en no-go-sats) . Men både den ursprungliga härledningen och de senare korrigeringarna som ledde till att övergången inte existerade – på grund av att summaregeln Thomas–Reiche–Kuhn upphävde för den harmoniska oscillatorn den nödvändiga ojämlikheten till omöjlig negativitet hos interaktionen – baserades på antagandet att kvantfältet Operatörer är pendlande tal, och atomerna interagerar inte med de statiska Coulomb-krafterna. Detta är i allmänhet inte sant som i fallet med Bohr-van Leeuwens teorem och den klassiska icke-existensen av Landau-diamagnetism . Återkomsten av övergången sker i grund och botten eftersom inter-atom-dipol-dipol-interaktionerna aldrig är försumbara i den superstrålande materiedensitetsregimen och Power-Zienau enhetstransformationen eliminerar kvantvektorpotentialen i minimikopplingen Hamiltonian transformerar Hamiltonian exakt till formen användes när den upptäcktes och utan kvadraten på vektorpotentialen som senare påstods förhindra den. Alternativt inom den fulla kvantmekaniken inklusive det elektromagnetiska fältet fungerar inte den generaliserade Bohr–van Leeuwen-satsen och de elektromagnetiska interaktionerna kan inte helt elimineras medan de bara ändrar $\mathbf {p} \cdot \mathbf {A }$ vektorpotentialkoppling till det elektriska fältet $\mathbf {x} \cdot \mathbf {E}$ koppling och ändra de effektiva elektrostatiska interaktionerna. Det kan observeras i modellsystem som Bose-Einstein-kondensat och artificiella atomer.

Teori

Kritiskhet av den linjäriserade Jaynes-Cummings-modellen

En överstrålningsfasövergång förutsägs formellt av det kritiska beteendet hos den resonanta Jaynes-Cummings-modellen , som beskriver interaktionen mellan endast en atom och en mod av det elektromagnetiska fältet. Med utgångspunkt från den exakta Hamiltonian av Jaynes-Cummings-modellen vid resonans

${\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dolk }{\hat {a}}+\hbar \omega {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }} _{+}+{\hat {a}}^{\dolk }{\hat {\sigma }}_{-}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}+ {\hat {a}}^{\dolk }{\hat {\sigma }}_{+}\right),$

Tillämpning av Holstein-Primakoff-transformationen för två spinnnivåer, ersätter spinnhöjnings- och sänkoperatorerna med de för harmoniska oscillatorerna

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}\approx {\hat {b}}} σ ^ + ≈$

$\hat {\sigma }}_ {+}\approx {\hat {b}}^{\dolk }}$

${\hat {\sigma }}_{z}\approx 2{\hat { b}}^{\dolk }{\hat {b}}$

man får Hamiltonian för två kopplade harmoniska oscillatorer:

${ \displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dolk }{\hat {a}}+\hbar \omega {\hat { b}}^{\dolk }{\hat {b}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {b}}^{\dolk }+{\hat {a}}^{\hat {\hat {b}}+{\hat {a}}{\hat {b}}+{\hat {a}}^{\dolk }{ \hat {b}}^{\dolk }\right),}$

som lätt kan diagonaliseras. Postulerar sin normala form

${\hat {H}}_{\text{JC}}=\Omega _{+} {\hat {A_{+}}}^{\dolk }{\hat {A_{+}}}+\Omega _{-}{\hat {A_{-}}}^{\dolk }{\hat {A_{-}}}+C$

var

${\hat {A_{\pm }}}=c_{\pm 1} {\hat {a}}+c_{\pm 2}{\hat {a}}^{\dolk }+c_{\pm 3}{\hat {b}}+c_{\pm 4}{\hat {b}}^{\dolk }$

man får egenvärdesekvationen

$[{\hat {A_{\pm }}},{\hat {H}}_{\text{JC}}]=\Omega _{ \pm }A$

med lösningarna

$\Omega _{\pm }=\omega {\sqrt {1\pm {\frac {\Omega }{\omega }}}}$

Systemet kollapsar när en av frekvenserna blir imaginär, dvs när

$\Omega >\omega$

eller när atom-fältkopplingen är starkare än frekvensen för moden och atomoscillatorerna. Även om det finns fysiskt högre termer i det sanna systemet, kommer systemet i denna regim därför att genomgå fasövergången.

Kritik av Jaynes-Cummings modell

Den förenklade Hamiltonian av Jaynes-Cummings-modellen, som försummar de motroterande termerna, är

${\hat {H}}_{\ text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dolk }{\hat {a}}+\hbar \omega {\frac {{\hat {\sigma }}_{z} }{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^ {\dolk }{\hat {\sigma }}_{-}\right),$

och energierna för fallet med noll avstämning är

$E_{\pm }(n)=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{ 2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega (n),$

$\Omega (n)=\Omega {\sqrt {n+1}}$

där $\Omega$ är Rabi-frekvensen . Man kan ungefär beräkna den kanoniska partitionsfunktionen

$Z=\summa _{\pm ,n }\mathrm {e} ^{-\beta E_{\pm }(n)}\approx \sum _{\pm }\int \mathrm {e} ^{-\beta E_{\pm }(n)} dn=\int \mathrm {e} ^{\Phi (n)}dn$ ,

där den diskreta summan ersattes av integralen.

Det normala tillvägagångssättet är att den senare integralen beräknas med Gauss approximation runt exponentens maximum:

${\frac {\partial \Phi (n)}{\partial n}}=0$

$\Phi (n)=-\beta \hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)+\log 2\cosh { \frac {\hbar \Omega (n)\beta }{2}}$

Detta leder till den kritiska ekvationen

$\tanh {\frac {\hbar \Omega (n)\beta }{2}}=4{\frac {\omega }{\ Omega }}{\sqrt {n+1}}$

Detta har lösningen endast om

$\Omega >4\omega$

vilket innebär att normal- och superstrålningsfasen endast existerar om fält-atom-kopplingen är betydligt starkare än energiskillnaden mellan atomnivåerna. När villkoret är uppfyllt ger ekvationen lösningen för ordningsparametern $n$ beroende på inversen av temperaturen $1/\beta$ , vilket betyder icke-försvinnande ordnat fältläge. Liknande överväganden kan göras i sann termodynamisk gräns för det oändliga antalet atomer.

Instabilitet hos den klassiska elektrostatiska modellen

Den bättre insikten om den överstrålningsfasövergångens karaktär samt om det fysiska värdet av den kritiska parametern som måste överskridas för att övergången ska ske kan erhållas genom att studera den klassiska stabiliteten hos systemet för de laddade klassiska övertonsoscillatorerna i 3D-rymden interagerar endast med de elektrostatiska repulsiva krafterna till exempel mellan elektroner i den lokalt harmoniska oscillatorpotentialen. Trots den ursprungliga modellen av superradiansen är det kvantelektromagnetiska fältet totalt försummat här. Oscillatorerna kan antas vara placerade till exempel på det kubiska gittret med gitterkonstanten $a$ i analogi med det kondenserade materialets kristallsystem. Det värre scenariot med defekten av frånvaron av de två rörelsestabiliserande elektronerna utanför planet från de 6:e närmaste grannarna till en vald elektron antas medan de fyra närmaste elektronerna först antas vara stela i rymden och producerar den anti-harmoniska potentialen i riktningen vinkelrät mot planet för alla fem elektronerna. Villkoret för rörelseinstabilitet är att nettopotentialen som är överlagringen av den harmoniska oscillatorpotentialen och den kvadratiskt expanderade Coulomb-potentialen från de fyra elektronerna är negativ, dvs.

${\frac {m\omega ^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\ gånger 4\ gånger {\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{a^{3}}}<0$

eller

${\frac {e^{2}}{\pi \epsilon _{0}m\omega ^{2}}}{\frac {1}{ a^{3}}}>1$

Att göra det till artificiellt kvantum genom att multiplicera täljaren och nämnaren för bråket med ℏ { $displaystyle \hbar }$ en erhåller villkoret

${\frac {2}{\pi }}{\frac {|D_{12}|^{2}}{E_{12}\epsilon _{0} }}\left({\frac {N}{V}}\right)>1$

var

$|D_{12}|^{2}={\frac {e^{2}\hbar }{2m\omega }}$

är kvadraten på dipolövergångsstyrkan mellan grundtillståndet och det första exciterade tillståndet för den kvantharmoniska oscillatorn ,

$E_{12}=\hbar \omega$

är energigapet mellan på varandra följande nivåer och det märks också att

${\frac {1}{a^{3}}}={\frac {N}{V}}$

är oscillatorernas rumsliga täthet. Tillståndet är nästan identiskt med detta som erhölls i den ursprungliga upptäckten av superstrålningsfasövergången när de harmoniska oscillatorerna ersattes med två nivåatomer med samma avstånd mellan energinivåerna, dipolövergångsstyrkan och densiteten som innebär att den inträffar i regimen när Coulomb-interaktionerna mellan elektroner dominerar över lokalt harmonisk oscillerande påverkan av atomerna. Den som känner av den fria elektrongasen med $\omega =0$ är också rent superradiant.

Den kritiska ojämlikheten omskriven men annorlunda

$\omega <{\sqrt {{\frac {e^{2}}{m\pi \epsilon _{0}}}{\ frac {N}{V}}}}\approx {\sqrt {{\frac {e^{2}}{m\epsilon _{0}}}{\frac {N}{V}}}}$

uttrycker det faktum att överstrålningsfasövergång sker när frekvensen av de bindande atomoscillatorerna är lägre än den så kallade elektrongasplasmafrekvensen .