Hopfield dielektrikum

Hopfield dielectric – inom kvantmekaniken en modell av dielektrikum som består av kvantharmoniska oscillatorer som interagerar med det kvantelektromagnetiska fältets moder . Den kollektiva interaktionen av laddningspolarisationslägena med vakuumexcitationerna, fotoner leder till störning av både det linjära spridningsförhållandet för fotoner och konstant spridning av laddningsvågor genom den undvikade korsningen mellan de två dispersionslinjerna av polaritoner . På samma sätt som de akustiska och optiska fononerna och långt från resonansen är en gren fotonliknande medan den andra laddningsvågliknande. Matematiskt är Hopfield-dielektriken för det ena excitationssättet ekvivalent med det trojanska vågpaketet i den harmoniska approximationen. Hopfield-modellen av dielektrikumet förutsäger existensen av evigt fångade frusna fotoner som liknar Hawking-strålningen inuti materien med tätheten proportionell mot styrkan hos materia-fältkopplingen.

Teori

Hamiltonian för den kvantiserade Lorentz-dielektriken som består av $N$ harmoniska oscillatorer som interagerar med det kvantelektromagnetiska fältet kan skrivas i dipolapproximationen som:

$H=\sum \limits _{A=1}^{N}{{p_{A}}^{2} \over 2m}+{{m{\omega }^{2}} \over 2 }{x_{A}}^{2}-e{x_{A}}\cdot E(r_{A})+\sum \limits _{\lambda =1}^{2}\int d^{3 }ka_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}\hbar ck$

var

$E(r_{A})={i \över L^{3}}\summa \limits _{\lambda =1}^{2}\int d^{3}k[{{ck} \over {2\epsilon _{0}}}]^{1 \over 2}[e_{\lambda }(k)a_{\lambda }(k)\exp(ikr_{A})-HC]$

är den elektriska fältoperatören som verkar vid positionen $r_{A}$ .

Uttrycker det i termer av skapande och förintelseoperatorer för de harmoniska oscillatorerna vi får

$H=\sum \limits _{A=1}^{N}(a_{A}^{+}\cdot a_{A})\hbar \omega -{e \over {{\sqrt {2 }}\beta }}(a_{A}+{a_{A}}^{+})\cdot E(r_{A})+\sum _{\lambda }\sum _{k}a_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}\hbar ck$

Anta att oscillatorer är på något slags regelbundet fast gitter och tillämpar den polaritoniska Fouriertransformen

$B_{k}^{+}={1 \over {\sqrt {N}}}\summa \ gränser _{A=1}^{N}\exp(ikr_{A})a_{A}^{+},$

$B_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum \limits _{A=1}^{N}\exp(-ikr_{A})a_{A}$

och definiera projektioner av oscillatorladdningsvågor på de elektromagnetiska fältets polarisationsriktningar

$B_{\lambda k}^{+}=e_{\lambda }(k)\cdot B_{k}^{+}$

$B_{\lambda k}=e_{\lambda }(k)\cdot B_{k},$

efter att ha tappat de longitudinella bidragen som inte interagerar med det elektromagnetiska fältet kan man få Hopfield Hamiltonian

$H=\summa _{\lambda }\summa _{k}(B_{\lambda k}^{+}B_{\lambda k}+{1 \over 2})\hbar \omega +\hbar cka_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}+{ie\hbar \over {\sqrt {\epsilon _{0}m\omega }}}{\sqrt {N \over V}}{\sqrt {ck}}[B_{\lambda k}a_{\lambda -k}+B_{ \lambda k}^{+}a_{\lambda k}-B_{\lambda k}^{+}a_{\lambda -k}^{+}-B_{\lambda k}a_{\lambda k}^ {+}]$

Eftersom interaktionen inte blandar polarisationer kan detta omvandlas till normal form med egenfrekvenserna för två polaritoniska grenar:

$H=\summa _{\lambda }\summa _{k}\left[\Omega _{+}(k)C_{\lambda +k}^{+}C_{\lambda +k}+\Omega _{-}(k )C_{\lambda -k}^{+}C_{\lambda -k}\right]+const$

med egenvärdesekvationen

$[C_{\lambda \pm k},H]=\Omega _{\pm }(k)C_{\lambda \pm k}$

$C_{\lambda \pm k}=c_{1}a_{\lambda k}+c_{2}a_{\lambda -k}+c_{ 3}a_{\lambda k}^{+}+c_{4}a_{\lambda -k}^{+}+c_{5}B_{\lambda k}+c_{6}B_{\lambda -k }+c_{7}B_{\lambda k}^{+}+c_{8}B_{\lambda -k}^{+}$

var

$\Omega _{-}(k)^{2}={\omega ^{2}+\Omega ^{2}-{\sqrt {{(\omega ^{2}-\Omega ^{2})}^{2}+4{g}\omega ^{2}\Omega ^{2}}} \över 2},$

$\Omega _{+} (k)^{2}={\omega ^{2}+\Omega ^{2}+{\sqrt {{(\omega ^{2}-\Omega ^{2})}^{2}+4 {g}\omega ^{2}\Omega ^{2}}} \över 2}$ ,

med

$\Omega (k)=ck,$

(vakuumfotondispersion) och

$g={{Ne^{2}} \over {Vm\epsilon _{0}\omega ^{2}}}$

är den dimensionslösa kopplingskonstanten proportionell mot densiteten $N/V$ för dielektrikumet med Lorentz-frekvensen $\omega$ ( tätt bindande laddningsvågspridning). Man kan märka att till skillnad från i vakuumet i det elektromagnetiska fältet utan materia förväntansvärdet för det genomsnittliga fotontalet $<a_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k }>$ är icke noll i grundtillståndet för den polaritoniska Hamiltonian $C_{k\pm }|\mathbf {0} >=0$ liknande Hawking-strålningen i närheten av det svarta hålet på grund av Unruh-Davies-effekten . Man kan lätt lägga märke till att den lägre egenfrekvensen $\Omega _{-}$ blir imaginär när kopplingskonstanten blir kritisk vid $g>1$ vilket antyder att Hopfield-dielektrikum kommer att genomgå superradiantfasövergången .