Holstein–Primakoff transformation

Holstein -Primakoff- transformationen inom kvantmekaniken är en kartläggning till spin- operatorerna från bosonskapande och förintelseoperatorer, som effektivt trunkerar deras oändligt dimensionella Fock-utrymme till ändligt dimensionella delrum.

En viktig aspekt av kvantmekaniken är förekomsten av – i allmänhet – icke-pendlande operatorer som representerar observerbara , kvantiteter som kan mätas. Ett standardexempel på en uppsättning sådana operatorer är de tre komponenterna i vinkelmomentoperatorerna, som är avgörande i många kvantsystem. Dessa operatörer är komplicerade, och man skulle vilja hitta en enklare representation, som kan användas för att generera ungefärliga beräkningsscheman.

Förvandlingen utvecklades 1940 av Theodore Holstein , en doktorand vid den tiden, och Henry Primakoff . Denna metod har funnit vidsträckt tillämpbarhet och har utvidgats i många olika riktningar.

Det finns en nära koppling till andra metoder för bosonkartläggning av operatoralgebror: i synnerhet den (icke-hermitiska) Dyson -Maleev-tekniken och i mindre utsträckning Jordan-Schwinger-kartan . Det finns dessutom en nära koppling till teorin om (generaliserade) koherenta tillstånd i Lie algebras .

Den grundläggande tekniken

Grundidén kan illustreras för det grundläggande exemplet på kvantmekaniks spinnoperatorer.

För varje uppsättning högerhänta ortogonala axlar, definiera komponenterna i denna vektoroperator som $S_{x}$ , $S_{y}$ och $S_{z}$ , som är ömsesidigt icke-pendlande , dvs $\left[S_{x},S_{y}\right]=i\hbar S_{z}$ och dess cykliska permutationer.

För att unikt specificera tillstånden för ett snurr, kan man diagonalisera valfri uppsättning pendlingsoperatörer. Normalt använder man SU(2) Casimir-operatorerna $S^{2}$ och $S_{z}$ , vilket leder till tillstånd med kvanttalen $\left|s,m_{s}\right\rangle$ ,

S^{2}\left|s,m_{s}\right\rangle =\hbar ^{2}s(s+1)\left|s,m_{s}\ höger\rangle ,

S_{z}\left|s,m_{s}\right\rangle =\hbar m_{s}\left|s,m_{s}\right\rangle .

Projektionskvanttalet $m_{s}$ antar alla värden $(-s,-s+1,\ldots ,s-1,s)$ .

Betrakta en enda partikel av spin $s$ (dvs titta på en enda irreducerbar representation av SU(2)). Ta nu staten med maximal projektion ${\displaystyle \left|s,m_{s}=+s\right\rangle } ,$ extremviktstillståndet som ett vakuum för en uppsättning bosonoperatorer, och varje efterföljande tillstånd med lägre projektion kvantnummer som en bosonexcitation av den föregående,

\left|s,sn\right\rangle \mapsto {\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(a^{\dolk}\right)^{n}|0\rangle _{B}~.

Varje ytterligare boson motsvarar då en minskning med $µ$ i spinnprojektionen. Snurrhöjnings- och sänkoperatorerna $S_{+}=S_{x}+iS_{y}$ och $S_{ -}=S_{x}-iS_{y}$ , så att $[S_{+},S_{-}]=2\hbar S_{z}$ , motsvarar (i den bemärkelse som beskrivs nedan) till operatörerna för bosonisk förintelse respektive skapande. De exakta relationerna mellan operatorerna måste väljas för att säkerställa de korrekta kommuteringsrelationerna för spinnoperatorerna, så att de verkar på ett ändligt dimensionellt utrymme, till skillnad från det ursprungliga Fock-utrymmet.

Den resulterande Holstein–Primakoff-transformationen kan skrivas som

$S_{+}=\hbar {\sqrt {2s}}{\sqrt {1-{\frac {a^{\dolk }a}{2s}}}}\,a~,\qquad S_{ -}=\hbar {\sqrt {2s}}a^{\dolk }\,{\sqrt {1-{\frac {a^{\dolk}a}{2s}}}}~,\qquad S_{ z}=\hbar (sa^{\dolk }a)~.$

Transformationen är särskilt användbar i fallet där $s$ är stor, när kvadratrötterna kan expanderas som Taylor-serier , för att ge en expansion i minskande potenser av $s$ .

Alternativt till en Taylor-expansion har det nyligen skett framsteg med en återupptagning av serien som möjliggjorde uttryck som är polynom i bosoniska operatorer men fortfarande matematiskt exakta (på det fysiska delrummet). Den första metoden utvecklar en återupptagningsmetod som är exakt för för spin $s=1/2$ medan den senare använder en Newton-serie expansion med ett identiskt resultat, som visas nedan

$S_{+}^{(1/2)}=\hbar {\sqrt {2s}}\left[1+\left({\sqrt {1-{\frac {1}{2s}}} }-1\right)a^{\dolk }a\right]a,\qquad S_{-}^{(1/2)}=(S_{+}^{(1/2)})^{\ dolk },\qquad S_{z}^{(1/2)}=\hbar (sa^{\dolk}a)~.$

Även om uttrycket ovan inte är exakt för snurr högre än 1/2 är det en förbättring jämfört med Taylor-serien. Exakta uttryck finns också för högre snurr och inkluderar $2s+1$ termer. Ungefär som resultatet ovan också för uttrycken för högre snurr $S_{+}=S_{-}^{\dolk }$ och därför är återupptagandet hermitiskt.

Det finns också en icke-hermitisk Dyson–Maleev variant realisering J är relaterad till ovanstående och giltig för alla snurr,

J_{ +}=\hbar \,a~,\qquad J_{-}=S_{-}~{\sqrt {2s-a^{\dolk }a}}=\hbar a^{\dolk }\,(2s -a^{\dolk }a)~,\qquad J_{z}=S_{z}=\hbar (sa^{\dolk}a)~,

som uppfyller samma kommuteringsrelationer och kännetecknas av samma Casimir-invariant.

Tekniken kan utökas ytterligare till Witt algebra , som är den centrumlösa Virasoro algebra .

Se även