Z*-satsen

I matematik anges George Glaubermans Z *-sats enligt följande:

Z*-sats: Låt G vara en finit grupp , där O ( G ) är dess maximala normala undergrupp av udda ordning . Om T är en Sylow 2-undergrupp av G som innehåller en involution som inte är konjugerad i G till något annat element i T , så ligger involutionen i Z* ( G ), vilket är den omvända bilden i G av mitten av G / O ( G ).

Detta generaliserar Brauer-Suzuki-satsen (och beviset använder Brauer-Suzuki-satsen för att hantera några små fall).

Detaljer

Den ursprungliga artikeln Glauberman (1966) gav flera kriterier för att ett element skulle ligga utanför Z* ( G ). Dess sats 4 säger:

För ett element t i T är det nödvändigt och tillräckligt för t att ligga utanför Z* ( G ) att det finns något g i G och abelsk undergrupp U av T som uppfyller följande egenskaper:

1. g normaliserar både U och centraliseraren C _T ( U ), det vill säga g ingår i N = N _G ( U ) ∩ N _G ( C _T ( U ))
2. t ingår i U och tg ≠ gt
3. U genereras av N -konjugaten av t
4. exponenten för U är lika med ordningen t

Dessutom kan g väljas att ha primtalsordning om t är i mitten av T , och g kan väljas i T annars.

En enkel följd är att ett element t i T inte är i Z* ( G ) om och endast om det finns några s ≠ t så att s och t pendlar och s och t är G -konjugat.

En generalisering till udda primtal registrerades i Guralnick & Robinson (1993) : om t är ett element av primtal p och kommutatorn [ t , g ] har ordningen coprime till p för alla g , då är t central modulo p ′- kärna . Detta generaliserades också till udda primtal och till att komprimera Lie-grupper i Mislin & Thévenaz (1991), som också innehåller flera användbara resultat i det finita fallet.

Henke & Semeraro (2015) har också studerat en utvidgning av Z*-satsen till par av grupper ( G , H ) med H en normal undergrupp av G.

Anförda verk

•    Dade, Everett C. (1971), "Character theory som hänför sig till finita enkla grupper", i Powell, MB; Higman, Graham (red.), Finita simple groups. Proceedings of an Instructional Conference organiserad av London Mathematical Society (ett NATO Advanced Study Institute), Oxford, september 1969 , Boston, MA: Academic Press , s. 249–327, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0360785 ger ett detaljerat bevis för Brauer–Suzuki-satsen.
•     Glauberman, George (1966), "Central elements in core-free groups", Journal of Algebra , 4 (3): 403–420, doi : 10.1016/0021-8693(66)90030-5 , ISSN 0021-8693 , MR 0202822 , Zbl 0145.02802
•     Guralnick, Robert M.; Robinson, Geoffrey R. (1993), "On extensions of the Baer-Suzuki theorem", Israel Journal of Mathematics , 82 (1): 281–297, doi : 10.1007/BF02808114 , ISSN 0021-2172 , 0021-2172 , 09 MR 51729 .4029
• Henke, Ellen; Semeraro, Jason (1 oktober 2015). "Centraliserare av normala undergrupper och Z*-satsen" . Journal of Algebra . 439 : 511-514. arXiv : 1411.1932 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2015.06.027 .
•    Mislin, Guido; Thévenaz, Jacques (1991), "The Z*-theorem for compact Lie groups" , Mathematische Annalen , 291 (1): 103–111, doi : 10.1007/BF01445193 , ISSN 0025-5831 , MR 112500