Malmförlängning

Inom matematiken , särskilt inom det område av algebra som kallas ringteori , är en malmförlängning , uppkallad efter Øystein Ore , en speciell typ av ringförlängning vars egenskaper är relativt välkända. Element i en malmförlängning kallas malmpolynom .

Malmförlängningar uppträder i flera naturliga sammanhang, inklusive skeva och differentiella polynomringar , gruppalgebror av polycykliska grupper , universella omslutande algebror av lösbara Lie-algebror och koordinatringar av kvantgrupper .

Definition

Antag att R $\delta \colon R\to R$ en (inte nödvändigtvis kommutativ ) ring , $\sigma \colon R\to R$ är en ringhomomorfism , och är en σ -derivation av R , vilket betyder att $\delta$ är en homomorfism av abelska grupper som uppfyller

\delta (r_{1}r_{2})=\sigma (r_{1}) \delta (r_{2})+\delta (r_{1})r_{2}

.

Sedan malmförlängningen ${\displaystyle R[x;\sigma ,\delta ]} ,$ även kallad en sned polynomring , är den icke-kommutativa ringen som $] {\displaystyle R[x]}$ genom att ge ringen av polynom a ny multiplikation, beroende på identiteten

xr=\sigma (r)x+\delta (r)

.

Om δ = 0 (dvs. är nollmappen) så betecknas malmförlängningen R [ x ; σ ]. Om σ = 1 (dvs. identitetskartan ) så betecknas Ore-förlängningen R [ x , δ ] och kallas en differentialpolynomring .

Exempel

Weylalgebran är malmförlängningar, med R vilken kommutativ polynomring som helst , σ identitetsringen endomorfism och δ polynomderivatan . Malmalgebror är en klass av itererade malmförlängningar under lämpliga begränsningar som tillåter att utveckla en icke-kommutativ förlängning av teorin om Gröbners baser .

Egenskaper

En Ore-förlängning av en domän är en domän.
En malmförlängning av ett skevt fält är en icke-kommutativ principiell idealdomän .
Om σ är en automorfism och R är en vänster Noetherian ring då malmförlängningen R [ λ ; σ , δ ] lämnas också Noetherian.

Element

Ett element f i en malmring R kallas

dubbelsidig (eller invariant ), om R·f = f·R , och
central , om g·f = f·g för alla g i R .

Vidare läsning

Goodearl, KR; Warfield, RB, Jr. (2004), An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, andra upplagan , London Mathematical Society Student Texts, vol. 61, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-54537-4 , MR 2080008
McConnell, JC; Robson, JC (2001), Noncommutative Noetherian rings , Graduate Studies in Mathematics , vol. 30, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2169-5 , MR 1811901
Azeddine Ouarit (1992) Extensions de ore d'anneaux noetheriens á ip, Comm. Algebra, 20 No 6,1819-1837. https://zbmath.org/?q=an:0754.16014
Azeddine Ouarit (1994) En anmärkning om Jacobson-egendomen hos PI Ore extensions. (Une remarque sur la propriété de Jacobson des extensions de Ore a IP) (franska) Zbl 0819.16024. Båge. Matematik. 63, nr 2, 136-139 (1994). https://zbmath.org/?q=an:00687054
Rowen, Louis H. (1988), Ring theory, vol. I, II , Pure and Applied Mathematics, vol. 127, 128, Boston, MA: Academic Press , ISBN 0-12-599841-4 , MR 0940245