Virasoro grupp

I abstrakt algebra är Virasoro -gruppen eller Bott-Virasoro-gruppen (ofta betecknad med Vir ) en oändligt dimensionell Lie-grupp som definieras som den universella centrala förlängningen av gruppen av diffeomorfismer i cirkeln . Motsvarande Lie-algebra är Virasoro-algebra , som har en nyckelroll i konform fältteori ( CFT) och strängteori .

Gruppen är uppkallad efter Miguel Ángel Virasoro och Raoul Bott .

Bakgrund

En orienteringsbevarande diffeomorfism av cirkeln ${\displaystyle S^{1}} ,$ vars punkter är märkta med en reell koordinat $x$ med förbehåll för identifieringen $x\sim x+2\pi$ , är en jämn karta $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto f(x)$ såsom att $f(x+2\pi )=f(x)+2\pi$ och $f'( x)>0$ . Uppsättningen av alla sådana kartor spänner över en grupp, med multiplikation ges av sammansättningen av diffeomorfismer. Denna grupp är den universella täckningen av gruppen av orienteringsbevarande diffeomorfismer av cirkeln, betecknad som ${\widetilde {\text{Diff}}}{}^{+}(S^ {1})$ .

Definition

Virasoro-gruppen är den universella centrala förlängningen av ${\widetilde {\text{Diff}}}{}^{+}(S^{1})$ . Tillägget definieras av en specifik två-samcykel , som är en funktion med reellt värde ${\mathsf {C}}(f,g)$ av par av diffeomorfismer. Specifikt definieras förlängningen av Bott–Thurston-cykeln:

$${\mathsf {C}}(f,g)\equiv -{\frac {1}{48\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log {\big [}f '{\big (}g(x){\big )}{\big ]}{\frac {g''(x)\,{\text{d}}x}{g'(x)}}.$$

I dessa termer är Virasoro-gruppen mängden ${\widetilde {\text{Diff}}}{}^{+}(S^{1})\times \mathbb {R}$ av alla par $(f,\alpha )$ , där $f$ är en diffeomorfism och $\alpha$ är ett reellt tal, försett med binär drift

$$(f,\alpha )\cdot (g,\beta )={\big (}f\circ g,\alpha +\beta +{\mathsf {C}}(f,g){\big ) }.$$

Denna operation är en associativ gruppoperation. Denna förlängning är den enda centrala förlängningen av den universella täckningen av gruppen av cirkeldiffeomorfismer, upp till triviala förlängningar. Virasoro-gruppen kan också definieras utan användning av explicita koordinater eller ett uttryckligt val av cocycle för att representera den centrala förlängningen, via en beskrivning av gruppens universella täckning .

Virasoro algebra

Huvudartikel: Virasoro algebra

Lie -algebra i Virasoro-gruppen är Virasoro-algebra . Som vektorrum består Lie-algebra i Virasoro-gruppen av par $(\xi ,\alpha )$ , där $\xi =\xi ( x)\partial _{x}$ är ett vektorfält på cirkeln och $\alpha$ är ett reellt tal som tidigare. Speciellt vektorfältet kan ses som en infinitesimal diffeomorfism $f(x)=x+\epsilon \xi (x)$ . Lie-parentesen av par $(\xi ,\alpha )$ följer sedan av multiplikationen som definierats ovan och kan visas uppfylla

$${\big [}(\ xi ,\alpha ),(\zeta ,\beta ){\big ]}={\bigg (}[\xi ,\zeta ],-{\frac {1}{24\pi }}\int _{0 }^{2\pi }{\text{d}}x\,\xi (x)\zeta '''(x){\bigg )}$$

där parentesen av vektorfält på höger sida är den vanliga : $[ \xi ,\zeta ]=(\xi (x)\zeta '(x)-\zeta (x)\xi '(x))\partial _{x}$ . Vid definition av komplexa generatorer

$$L_{m}\equiv {\Big (}-ie^{imx}\ partiell _{x},-{\frac {i}{24}}\delta _{m,0}{\Big )},\qquad Z\equiv (0,-i),$$

Lie-parentesen har den vanliga läroboksformen av Virasoro-algebra:

$$[L_{m},L_{n}]=(mn)L_{m+n}+{\frac {Z}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m +n}.$$

Generatorn $Z$ pendlar med hela algebra. Eftersom dess närvaro beror på en central förlängning är den föremål för en superselektionsregel som garanterar att, i alla fysiska system som har Virasoro-symmetri, operatören som representerar $Z$ är en multipel av identiteten. Koefficienten framför identiteten kallas då en central laddning .

Egenskaper

Eftersom varje diffeomorfism $f$ måste specificeras av oändligt många parametrar (till exempel Fourier-lägena för den periodiska funktionen $f(x)-x$ ), är Virasoro-gruppen oändlig- dimensionell.

Koadjoint representation

Lie-parentesen i Virasoro-algebra kan ses som en differential av den angränsande representationen av Virasoro-gruppen. Dess dubbla, coadjoint representation av Virasoro-gruppen, tillhandahåller transformationslagen för en CFT- spänningstensor under konforma transformationer. Ur detta perspektiv framträder den Schwarzianiska derivatan i denna transformationslag som en konsekvens av Bott–Thurston-samcykeln; i själva verket är Schwarzian den så kallade Souriau-cykeln (som hänvisar till Jean-Marie Souriau ) förknippad med Bott–Thurston-cykeln.