Väsentlig dimension

Inom matematiken är väsentlig dimension en invariant definierad för vissa algebraiska strukturer såsom algebraiska grupper och kvadratiska former . Den introducerades av J. Buhler och Z. Reichstein och definierades i sin mest allmänning av A. Merkurjev .

I grund och botten mäter väsentlig dimension komplexiteten hos algebraiska strukturer via deras definitionsfält . Till exempel, en kvadratisk form q : V → K över ett fält K , där V är ett K - vektorrum , sägs vara definierad över ett delfält L av K om det finns en K - bas e ₁ ,..., e _n av V så att q kan uttryckas i formen $q(\sum x_{i}e_{i})=\summa a_ {ij}x_{i}x_{j}$ med alla koefficienter a _ij som hör till L . Om K har en egenskap som skiljer sig från 2, är varje kvadratisk form diagonaliserbar . Därför q ett definitionsfält genererat av n element. Tekniskt sett arbetar man alltid över ett (fast) basfält k och fälten K och L i beaktande antas innehålla k . Den väsentliga dimensionen av q definieras sedan som den minsta transcendensgraden över k av ett underfält L av K över vilket q definieras.

Formell definition

Fixa ett godtyckligt fält k och låt $Fields$ / k beteckna kategorin av ändligt genererade fältförlängningar av k med inneslutningar som morfismer . Betrakta en (kovariant) funktion F : $Fält$ / k → $Set$ . För en fältförlängning K / k och ett element a av F ( K / k ) är ett definitionsfält för a ett mellanliggande fält K / L / k så att a finns i bilden av kartan F ( L / k ) → F ( K / k ) inducerad av inkluderingen av L i K.

Den väsentliga dimensionen av a , betecknad med ed ( a ), är den minsta transcendensgraden (över k ) av ett definitionsfält för a . Den väsentliga dimensionen av funktionatorn F , betecknad med ed ( F ), är det högsta av ed ( a ) som tagits över alla element a av F ( K / k ) och objekten K / k av $Fields$ / k .

Exempel

Väsentliga dimensioner av kvadratiska former : För ett naturligt tal n betrakta funktionorn Q _n : $Fält$ / k → $Ange$ att ta en fältförlängning K / k till uppsättningen av isomorfismklasser av icke-degenererade n -dimensionella kvadratiska former över K och ta en morfism L / k → K / k (given genom inkludering av L i K ) till kartan som skickar isomorfismklassen för en kvadratisk form q : V → L till isomorfismklassen för den kvadratiska formen $q_{K}:V\otimes _{L}K\to K$ .
Grundläggande dimension av algebraiska grupper : För en algebraisk grupp G över k betecknas med H ¹ (−, G ): $Fält$ / k → $Ställ in$ funktorn som tar en fältförlängning K / k till uppsättningen av isomorfismklasser av G - torsorer över K ( i fppf -topologin). Den väsentliga dimensionen av denna funktion kallas den väsentliga dimensionen av den algebraiska gruppen G , betecknad med ed ( G ).
Väsentliga dimensioner av en fiberkategori : Låt ${\mathcal {F}}$ vara en kategori som fibrer över kategorin $Aff/k$ av affina k -scheman, givet av en funktion $p:{\mathcal {F}}\to Aff/k.$ Till exempel kan ${\mathcal {F}}$ vara modulstacken ${\mathcal {M} }_{g}$ av släktets g -kurvor eller klassificeringsstacken ${\mathcal {BG}}$ för en algebraisk grupp. Antag att för varje ${\displaystyle A\in Aff/k} bildar$ isomorfismklasserna av objekt i fibern p ⁻¹ ( A ) en mängd. Då får vi en funktion F _p : $Fält$ / k → $Set$ ta en fältförlängning K / k till mängden isomorfismklasser i fibern $p^{-1} (Spec(K))$ . Den väsentliga dimensionen _för fiberkategorin ${\mathcal {F}}$ definieras som den väsentliga dimensionen för motsvarande funktion Fp . I fallet med klassificeringsstacken ${\mathcal {F}}={\mathcal {BG}}$ av en algebraisk grupp G sammanfaller värdet med den tidigare definierade väsentliga dimensionen av G .

Kända resultat

Den väsentliga dimensionen av en linjär algebraisk grupp G är alltid finit och begränsad av den minimala dimensionen av en generiskt fri representation minus dimensionen av G .
För G en Spin-grupp över ett algebraiskt stängt fält k , är den väsentliga dimensionen listad i OEIS : A280191 .
Den väsentliga dimensionen av en finit algebraisk p -grupp över k är lika med den minimala dimensionen av en trogen representation , förutsatt att basfältet k innehåller en primitiv p -th rot av enhet .
Den väsentliga dimensionen av den symmetriska gruppen S _n (sett som algebraisk grupp över k ) är känd för n ≤ 5 (för varje basfält k ), för n = 6 (för k av karakteristik inte 2) och för n = 7 (i egenskap 0).
Låt T vara en algebraisk torus som medger ett Galois-delningsfält L / k av grad en potens av ett primtal p . Då är den väsentliga dimensionen av T lika med den minsta graden av kärnan i en homomorfism av Gal( L / k ) -gitter P → X ( T ) med ändlig kokkärna och av ordningen coprime till p , där P är ett permutationsgitter.