de Longchamps poäng

De Longchamps-punkten L i triangeln △ ABC , bildad som reflektionen av ortocentrum H kring omkretscentrum O eller som ortocentrum för den antikomplementära triangeln △ A'B'C'

Inom geometrin är de Longchamps-punkten i en triangel ett triangelcentrum uppkallat efter den franske matematikern Gaston Albert Gohierre de Longchamps . Det är reflektionen av triangelns ortocentrum kring circumcenter .

Definition

Låt den givna triangeln ha hörn $A$ , $B$ och $C$ , mittemot respektive sidor $a$ , $b$ och ${\ displaystyle c}$ , liksom standardnotationen i triangelgeometri. I uppsatsen från 1886 där han introducerade denna punkt, definierade de Longchamps den initialt som mitten av en cirkel $\Delta$ ortogonal mot de tre cirklarna $\Delta _{a}$ , ${ \displaystyle \Delta _{b}}$ , och $\Delta _{c}$ , där $\Delta _{a}$ är centrerad vid $A$ med radien ${ \displaystyle a}$ och de andra två cirklarna definieras symmetriskt. De Longchamps visade då också att samma punkt, nu känd som de Longchamps-punkten, kan definieras likvärdigt som ortocentrum för den antikomplementära triangeln av $ABC$ , och att det är reflektionen av ortocentrum av $ABC$ runt omkretsen.

Steinercirkeln i en triangel är koncentrisk med niopunktscirkeln och har radien 3/2 av triangelns cirkumradius; de Longchamps-punkten är det homotetiska centrumet för Steinercirkeln och den omslutna cirkeln.

Ytterligare egenskaper

Som reflektion av ortocentret runt circumcenter, tillhör de Longchamps-punkten linjen genom båda dessa punkter, som är Eulerlinjen i den givna triangeln. Således är den kollinjär med alla andra triangelcentrum på Eulerlinjen, som tillsammans med ortocenter och circumcenter inkluderar tyngdpunkten och mitten av den niopunktscirkeln .

De Longchamp-punkten är också kolinjär, längs en annan linje, med centrum och Gergonne-punkten i dess triangel. De tre cirklarna centrerade på $A$ , $B$ och $C$ , med radier $sa$ , $sb$ och $sc$ respektive (där $s$ är halvperimetern ) tangerar varandra och det finns ytterligare två cirklar som tangerar dem alla tre, de inre och yttre Soddy-cirklarna; dessa två cirklars mittpunkter ligger också på samma linje med de Longchamp-punkten och mitten. De Longchamp-punkten är punkten för överensstämmelse mellan denna linje och Euler-linjen, och med tre andra linjer definierade på ett liknande sätt som linjen genom mitten men istället använder de tre excenterna av triangeln .

Darboux- kubiken kan definieras från de Longchamps-punkten, som platsen för punkterna $X$ så att ${\displaystyle X} ,$ det isogonala konjugatet av $X$ och de Longchamps-punkten är kolinjära . Det är den enda kubiska kurvan i en triangel som är både isogonalt självkonjugerad och centralt symmetrisk; dess symmetricentrum är triangelns omkretscentrum. Själva de Longchamps-punkten ligger på denna kurva, liksom dess reflektion ortocentret.

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "de Longchamps Point" . MathWorld .