Feuerbach punkt

Feuerbachs sats: niopunktscirkeln tangerar en triangels incirkel och cirklar . Incirkeltangenten är Feuerbach-punkten.

I trianglarnas geometri tangerar en triangels incirkel- och niopunktscirkel internt i Feuerbach - punkten i triangeln . Feuerbach-punkten är ett triangelcentrum , vilket betyder att dess definition inte beror på triangelns placering och skala. Den är listad som X(11) i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers , och är uppkallad efter Karl Wilhelm Feuerbach .

Feuerbachs teorem , publicerad av Feuerbach 1822, säger mer generellt att niopunktscirkeln tangerar triangelns tre excircles såväl som dess incircle. Ett mycket kort bevis på denna sats baserat på Caseys sats om bitangenserna i fyra cirklar som tangerar en femte cirkel publicerades av John Casey 1866; Feuerbachs teorem har också använts som ett testfall för automatiserad teorembevisande . De tre tangenspunkterna med cirklarna bildar Feuerbach-triangeln i den givna triangeln.

Konstruktion

Incirkeln i en triangel ABC är en cirkel som tangerar alla tre sidorna av triangeln . Dess centrum, triangelns centrum , ligger vid den punkt där triangelns tre inre vinkelhalveringslinjer korsar varandra.

Niopunktscirkeln är en annan cirkel definierad från en triangel . Det kallas så eftersom det passerar genom nio signifikanta punkter i triangeln, bland vilka de enklaste att konstruera är mittpunkterna på triangelns sidor. Niopunktscirkeln passerar genom dessa tre mittpunkter; sålunda är det omkretsen av den mediala triangeln .

Dessa två cirklar möts i en enda punkt, där de tangerar varandra. Den tangenspunkten är triangelns Feuerbach-punkt.

Förknippade med incirkeln av en triangel är ytterligare tre cirklar, excircles . Dessa är cirklar som var och en tangerar de tre linjerna genom triangelns sidor. Varje cirkel berör en av dessa linjer från motsatt sida av triangeln och är på samma sida som triangeln för de andra två linjerna. Precis som incirkeln tangerar excirklarna alla niopunktscirkeln. Deras tangenspunkter med niopunktscirkeln bildar en triangel, Feuerbachtriangeln.

Egenskaper

Feuerbach-punkten ligger på linjen genom mitten av de två tangentcirklarna som definierar den. Dessa centra är triangelns mittpunkt och niopunktscentrum .

Låt $x$ , $y$ och $z$ vara de tre avstånden för Feuerbach-punkten till spetsarna i den mediala triangeln (mittpunkterna på sidorna BC=a, CA=b , respektive AB=c i den ursprungliga triangeln). Sedan,

x+y+z=2\max(x,y,z),

eller på motsvarande sätt är det största av de tre avstånden lika med summan av de andra två. Specifikt har vi $x={\frac {R}{2OI}}|bc|,\,y={\frac {R}{2OI}}|ca|,z={\frac {R}{2OI}} |ab|,$ där O är referenstriangelns circumcenter och I är dess incenter .

Den sistnämnda egenskapen gäller även för tangenspunkten för någon av cirklarna med niopunktscirkeln: det största avståndet från denna tangens till en av den ursprungliga triangelns sidomittpunkter är lika med summan av avstånden till de andra två sidornas mittpunkter.

Om incirkeln av triangeln ABC berör sidorna BC, CA, AB vid X , Y , respektive Z och dessa sidors mittpunkter är respektive P , Q och R , då med Feuerbach-punkt F trianglarna FPX , FQY , och FRZ liknar trianglarna AOI, BOI, COI respektive.

Koordinater

De trilinjära koordinaterna för Feuerbach-punkten är

1-\cos(BC):1-\cos(CA):1-\cos(AB).

Dess barycentriska koordinater är

(sa)(bc)^{2}: (sb)(ca)^{2}:(sc)(ab)^{2},

där s är triangelns halvperimeter ( a+b+c)/2.

De tre linjerna från toppen av den ursprungliga triangeln genom motsvarande hörn i Feuerbach-triangeln möts vid ett annat triangelcentrum, listat som X(12) i Encyclopedia of Triangle Centers. Dess trilinjära koordinater är:

1+\cos(BC):1+\cos(CA):1+\cos(AB).

Vidare läsning

Thébault, Victor (1949), "On the Feuerbach points", American Mathematical Monthly , 56 (8): 546–547, doi : 10.2307/2305531 , JSTOR 2305531 , MR 0033039 .
Emelyanov, Lev; Emelyanova, Tatiana (2001), "En anteckning om Feuerbach-punkten", Forum Geometricorum , 1 : 121–124 (elektronisk), MR 1891524 .
Suceavă, Bogdan; Yiu, Paul (2006), "The Feuerbach point and Euler lines", Forum Geometricorum , 6 : 191–197, MR 2282236 .
Vonk, Jan (2009), "The Feuerbach point and reflections of the Euler line", Forum Geometricorum , 9 : 47–55, MR 2534378 .
Nguyen, Minh Ha; Nguyen, Pham Dat (2012), "Synthetic proofs of two theorems related to the Feuerbach point", Forum Geometricorum , 12 : 39–46, MR 2955643 .