Tillhörande graderad ring

I matematik är den associerade graderade ringen av en ring R med avseende på ett riktigt ideal I den graderade ringen :

$\operatorname {gr} _{I}R=\oplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I ^{n+1}$ .

På liknande sätt, om M är en vänster R -modul, så är den associerade graderade modulen den graderade modulen över $\operatorname {gr} _{I}R$ :

$\operatörsnamn {gr} _{I}M=\oplus _{n=0}^{\infty }I^{n} M/I^{n+1}M$ .

Grundläggande definitioner och egenskaper

För en ring R och ideal I definieras multiplikation i ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R} enligt följande: Betrakta först$ homogena element $a\in I^{i}/I^{i+1}$ och $b\in I^{j}/I^{j+1}$ och anta att $a'\in I^{i}$ är en representant för a och ${j}}$ är en representant för b . Definiera sedan $ab$ för att vara ekvivalensklassen för $a'b'$ i $I^{i+j}/ I^{i+j+1}$ . Observera att detta är väldefinierad modulo $I^{i+j+1}$ . Multiplikation av inhomogena element definieras genom att använda den fördelande egenskapen.

En ring eller modul kan vara relaterad till dess tillhörande graderade ring eller modul genom den initiala formulärkartan . Låt M vara en R -modul och I ett ideal för R . Givet $f\in M$ , den initiala formen av f in $\operatorname {gr} _{I}M$ , skriven $\mathrm { in} (f)$ , är ekvivalensklassen för f i $I^{m}M/I^{m+1}M$ där m är det maximala heltal så att $f\in I^{m}M$ . Om $f\in I^{m}M$ för varje m , sätt då $\mathrm {in} (f)=0$ . Den initiala formkartan är bara en karta över mängder och i allmänhet inte en homomorfism . För en undermodul $N\subset M$ , $\mathrm {in} (N)$ definieras som undermodulen till $\operatorname {gr } _{I}M$ genererad av $\{\mathrm {in} (f)|f\in N\}$ . Detta kanske inte är samma som undermodulen för $\operatorname {gr} _{I}M$ som genereras av de enda initiala formerna av generatorerna av N .

En ring ärver några "bra" egenskaper från sin tillhörande graderade ring. Till exempel, om R är en nothersk lokal ring och $\operatorname {gr} _{I}R$ är en integral domän , då är R i sig en integral domän.

gr av en kvotmodul

Låt $N\subset M$ vara kvar moduler över en ring R och I ett ideal av R . Eftersom

${I^{n}(M/N) \over I^{n+1}(M/N)}\simeq {I^{n}M+ N \över I^{n+1}M+N}\simeq {I^{n}M \över I^{n}M\cap (I^{n+1}M+N)}={I^ {n}M \över I^{n}M\cap N+I^{n+1}M}$

(den sista jämlikheten är enligt modullag ), det finns en kanonisk identifikation:

$\operatörsnamn {gr} _{I}(M/N)=\operatörsnamn {gr} _{I}M/\operatörsnamn {värdshus)$

var

$\operatorname {in} (N)=\bigoplus _{n=0}^{\ infty }{I^{n}M\cap N+I^{n+1}M \över I^{n+1}M},$

kallas undermodulen som genereras av de initiala formerna av elementen i $N$ .

Exempel

Låt U vara den universella omslutande algebra för en Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ över ett fält k ; den filtreras efter grad. Poincaré –Birkhoff–Witt-satsen antyder att $\operatorname {gr} U$ är en polynomring; i själva verket är det koordinatringen $k[{\mathfrak {g}}^{*}]$ .

Den associerade graderade algebra för en Clifford-algebra är en yttre algebra; dvs en Clifford-algebra degenererar till en yttre algebra .

Generalisering till multiplikativa filtreringar

De associerade graderade kan också definieras mer generellt för multiplikativa fallande filtreringar av R (se även filtrerad ring .) Låt F vara en fallande kedja av ideal av formen

$R=I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \dotsb$

så att $I_{j}I_{k}\subset I_{j+k}$ . Den graderade ringen associerad med denna filtrering är $\operatorname {gr} _{F}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I_{n}/I_{n+1}$ . Multiplikation och den initiala formkartan definieras enligt ovan.

Se även

• Betygsatt (matematik)
• Rees algebra

•    Eisenbud, David (1995). Kommutativ algebra . Examentexter i matematik. Vol. 150. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8 . MR 1322960 .
•    Matsumura, Hideyuki (1989). Kommutativ ringteori . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Översatt från japanska av M. Reid (andra upplagan). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6 . MR 1011461 .
•    Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975), Kommutativ algebra. Vol. II , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8 , MR 0389876