Schmidts nedbrytning

I linjär algebra hänvisar Schmidt -nedbrytningen (uppkallad efter dess upphovsman Erhard Schmidt ) till ett speciellt sätt att uttrycka en vektor i tensorprodukten av två inre produktrum . Den har många tillämpningar inom kvantinformationsteorin , till exempel i förtrasslingskarakterisering och i tillståndsrening och plasticitet .

Sats

Låt $H_{1}$ och $H_{2}$ vara Hilbertrum med dimensionerna n respektive m . Antag $n\geq m$ . För vilken vektor ${\displaystyle w} som helst$ i tensorprodukten $H_{1}\otimes H_{2}$ finns det ortonormala mängder $\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}\subset H_{1}$ och $\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\delmängd H_{2}$ så att ${\textstyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _ {i}u_{i}\otimes v_{i}}$ , där skalärerna $\alpha _{i}$ är verkliga, icke-negativa och unika fram till omordning.

Bevis

Schmidt-nedbrytningen är i huvudsak en omformulering av singulära värdenedbrytning i ett annat sammanhang. Fixa ortonormala baser $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\subset H_{1}$ och $\{f_{1},\ldots ,f_{m}\}\subset H_{2}$ . Vi kan identifiera en elementär tensor $e_{i}\otimes f_{j}$ med matrisen $e_{i}f_{j}^{\mathsf {T }}$ , där $f_{j}^{\mathsf {T}}$ är transponeringen av $f_{j}$ . En allmän del av tensorprodukten

w=\summa _{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}\beta _ {ij}e_{i}\otimes f_{j}

kan sedan ses som n × m -matrisen

\;M_{w}=(\beta _{ij}).

Genom singularvärdesuppdelningen finns det en n × n enhetlig U , m × m enhetlig V och en positiv halvdefinitiv diagonal m × m matris Σ så att

M_{w}=U{\begin{bmatrix}\Sigma \\0\end{bmatrix}}V^{*}.

Skriv $U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}$ där $U_{1}$ är n × m och vi har

\;M_{w}=U_{1}\Sigma V^{*}.

Låt $\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}$ vara m kolumnvektorerna för $U_{1}$ , $\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}$ kolumnvektorerna för ${\overline {V}}$ och $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}$ de diagonala elementen i Σ. Det föregående uttrycket är då

M_{w}=\summa _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}v_{k} ^{\mathsf {T}},

Sedan

w=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}\otimes v_{k},

vilket bevisar påståendet.

Några observationer

Vissa egenskaper hos Schmidt-nedbrytningen är av fysikaliskt intresse.

Spektrum av reducerade tillstånd

Betrakta en vektor w av tensorprodukten

H_{1}\otimes H_{2}

i form av Schmidt-nedbrytning

w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}.

Bilda rang 1-matrisen ρ = ww* . Då är det partiella spåret av ρ , med avseende på antingen system A eller B , en diagonal matris vars diagonala element som inte är noll är | α _i | ² . Med andra ord visar Schmidt-sönderdelningen att de reducerade tillstånden för ρ på båda delsystemen har samma spektrum.

Schmidt rang och förveckling

De strikt positiva värdena $\alpha _{i}$ i Schmidt-nedbrytningen av w är dess Schmidt-koefficienter . Antalet Schmidt-koefficienter för ${\displaystyle w} ,$ räknat med multiplicitet, kallas dess Schmidt-rankning eller Schmidt-tal .

Om w kan uttryckas som en produkt

u\otimes v

då kallas w ett separerbart tillstånd . Annars w vara ett intrasslat tillstånd . Från Schmidt-sönderdelningen kan vi se att w är intrasslad om och endast om w har Schmidt-ranking strikt högre än 1. Därför är två delsystem som delar upp ett rent tillstånd intrasslade om och endast om deras reducerade tillstånd är blandade tillstånd.

Von Neumann entropi

En konsekvens av ovanstående kommentarer är att för rena tillstånd är von Neumann-entropin för de reducerade tillstånden ett väldefinierat mått på intrassling . För von Neumann-entropin för båda reducerade tillstånden av ρ är ${\textstyle -\summa _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\ höger)}$ , och detta är noll om och endast om ρ är ett produkttillstånd (inte intrasslat).

Schmidt-rank vektor

Schmidt-rankningen definieras för tvådelade system, nämligen kvanttillstånd

$|\psi \rangle \in H_{A}\otillfällen H_{B}$

Begreppet Schmidt-rang kan utvidgas till kvantsystem som består av mer än två delsystem.

Tänk på det tredelade kvantsystemet:

$|\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{C}$

Det finns tre sätt att reducera detta till ett tvådelat system genom att utföra den partiella spårningen med avseende på $H_{A},H_{B}$ eller $H_{C}$

${ \begin{cases}{\hat {\rho }}_{A}=Tr_{A}(|\psi \rangle \langle \psi |)\\{\hat {\rho }}_{B}=Tr_ {B}(|\psi \rangle \langle \psi |)\\{\hat {\rho }}_{C}=Tr_{C}(|\psi \rangle \langle \psi |)\end{cases }}$

Vart och ett av de erhållna systemen är ett tvådelat system och kan därför karakteriseras av ett nummer (dess Schmidt-rankning), respektive $r_{A},r_{B}$ och $r_{ C}$ . Dessa siffror fångar "mängden intrassling" i det tvådelade systemet när A, B eller C kasseras. Av dessa skäl kan det tredelade systemet beskrivas med en vektor, nämligen Schmidt-rankvektorn

${\vec {r}}=(r_{A},r_{B},r_{C})$

Flerpartisystem

Begreppet Schmidt-rank vektor kan på samma sätt utvidgas till system som består av mer än tre delsystem genom användning av tensorer .

Exempel

Ta det tredelade kvanttillståndet $|\psi _{4,2, 2}\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}|0,0,0\rangle +|1,0,1\rangle +|2,1,0\rangle +|3, 1,1\rangle {\big )}$

Den här typen av system är möjlig genom att koda in värdet av en qudit i en fotons orbital vinkelmoment (OAM) snarare än dess spin , eftersom den senare bara kan ta två värden.

Schmidt-rankvektorn för detta kvanttillstånd är $(4,2,2)$ .

Se även

Vidare läsning

Pathak, Anirban (2013). Element av kvantberäkning och kvantkommunikation . London: Taylor & Francis. s. 92–98. ISBN 978-1-4665-1791-2 .