Theta representation

Inom matematiken är theta -representationen en speciell representation av Heisenberg-gruppen av kvantmekanik . Den får sitt namn från det faktum att Jacobi theta-funktionen är invariant under verkan av en diskret undergrupp av Heisenberggruppen. Framställningen populariserades av David Mumford .

Konstruktion

Theta-representationen är en representation av den kontinuerliga Heisenberg-gruppen $H_{3}(\mathbb {R} )$ över fältet för de reella talen. I denna representation verkar gruppelementen på ett visst Hilbert-rum . Konstruktionen nedan fortsätter först genom att definiera operatörer som motsvarar Heisenberg-gruppens generatorer. Därefter Hilbert-utrymmet där dessa agerar definieras, följt av en demonstration av isomorfismen till de vanliga representationerna.

Gruppgeneratorer

Låt f ( z ) vara en holomorf funktion , låt a och b vara reella tal , och låt $\tau$ vara fixerade, men godtyckliga komplexa tal i det övre halvplanet ; det vill säga så att den imaginära delen av $\tau$ är positiv. Definiera operatorerna S _a och T _b så att de verkar på holomorfa funktioner som

$(S_{a}f)(z)=f(z+a)=\exp (a\partial _{z})f(z)$

och

$(T_{b}f)(z)=\exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz)f(z+b\tau )=\exp(i\pi b^ {2}\tau +2\pi ibz+b\tau \partial _{z})f(z).$

Det kan ses att varje operatör genererar en enparameters undergrupp:

$S_{a_{1}}\left(S_{a_{2}}f\ höger)=\left(S_{a_{1}}\circ S_{a_{2}}\right)f=S_{a_{1}+a_{2}}f$

och

$T_{b_{1}}\left(T_{b_{2}}f\right)=\left(T_{b_{1}}\circ T_{b_{2}}\right)f=T_ {b_{1}+b_{2}}f.$

S och T pendlar dock inte:

$S_{a}\circ T_{b}=\exp(2\pi iab)T_{b}\circ S_{a}.$

Sålunda ser vi att S och T tillsammans med en enhetlig fas bildar en nilpotent Lie-grupp , den (kontinuerliga reella) Heisenberg-gruppen , parametriserbar som $H=U(1)\ gånger \ mathbb {R} \times \mathbb {R}$ där U (1) är den enhetliga gruppen .

Ett allmänt gruppelement $U_{\tau }(\lambda ,a,b)\in H$ verkar sedan på en holomorf funktion f ( z ) som

$U_{\tau }(\lambda ,a,b)f(z)=\lambda (S_{a}\circ T_{b}f)(z)=\lambda \exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz)f(z+a+b\tau )$

där $\lambda \in U(1).$ U $\displaystyle U(1)=Z(H)}$ är mitten av H , kommutatorundergruppen ${ \displaystyle [H,H]}$ . Parametern $\tau$ på $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ tjänar bara till att påminna om att alla olika värden på $\ tau$ ger upphov till en annan representation av gruppens handling.

Hilbert utrymme

Verkan av gruppelementen $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ är enhetlig och irreducerbar på ett visst Hilbert-rum av funktioner. För ett fast värde på τ, definiera en norm för hela funktioner i det komplexa planet som

$\Vert f\Vert _{\tau }^{2}=\int _{\mathbb {C} }\exp \left({\frac {-2\pi y^{2}}{\Im \tau }}\right)|f(x+iy)|^{2}\ dx\ dy.$

Här är $\Im \tau$ den imaginära delen av $\tau$ och integrationsdomänen är hela det komplexa planet. Låt ${\mathcal {H}}_{\tau }$ vara mängden av hela funktioner f med finit norm. Nedsänkningen $\tau$ används endast för att indikera att utrymmet beror på valet av parametern $\tau$ . Denna ${\mathcal {H}}_{\tau }$ bildar ett Hilbert-utrymme . Åtgärden för $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ som anges ovan är enhetlig på ${\mathcal {H}}_{\tau }$ , det vill säga $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ bevarar normen på detta utrymme. Slutligen, verkan av $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ på ${\mathcal {H}}_{\tau }$ är irreducerbar .

Denna norm är nära besläktad med den som används för att definiera Segal-Bargmann-utrymmet .

Isomorfi

Ovanstående theta-representation av Heisenberg-gruppen är isomorf till den kanoniska Weyl-representationen av Heisenberg-gruppen. Detta innebär särskilt att ${\mathcal {H}}_{\tau }$ och $L^{2}(\mathbb {R} )$ är isomorfa som H -moduler . Låta

$M(a,b,c)={\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}}$

står för ett allmänt gruppelement av $H_{3}(\mathbb {R} ).$ I den kanoniska Weyl-representationen, för varje reellt tal h , finns det en representation $\rho _{h}$ som verkar på $L^{2}(\mathbb {R} )$ som

$\rho _{h}(M(a,b ,c))\psi (x)=\exp(ibx+ihc)\psi (x+ha)$

för $x\in \mathbb {R}$ och $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} ).$

Här är h Plancks konstant . Varje sådan representation är enhetligt olikvärdig . Motsvarande theta-representation är:

$M(a,0,0)\to S_{ah}$

$M(0,b,0 )\to T_{b/2\pi }$

$M(0,0,c)\to e^{ihc}$

Diskret undergrupp

Definiera undergruppen $\Gamma _{\tau }\subset H_{\tau }$ som

$\Gamma _{\tau }=\{U_{\tau }(1,a,b)\in H_{\tau }:a,b\in \mathbb {Z} \}.$

Jacobi theta-funktionen definieras som

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz).$

Det är en hel funktion av z som är invariant under $\Gamma _{\tau }.$ Detta följer av egenskaperna för theta-funktionen:

$\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )$

och

$\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)\vartheta (z;\tau )$

när a och b är heltal. Det kan visas att Jacobi theta är den unika funktionen.

Se även

• Segal–Bargmann utrymme
• Tåligt utrymme

•   David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhäuser, Boston ISBN 3-7643-3109-7