Temperaturberoende av viskositet

Viskositeten beror starkt på temperaturen. I vätskor minskar den vanligtvis med ökande temperatur, medan viskositeten i de flesta gaser ökar med ökande temperatur. Den här artikeln diskuterar flera modeller av detta beroende, allt från rigorösa beräkningar av de första principerna för monoatomiska gaser , till empiriska korrelationer för vätskor.

Att förstå temperaturberoendet av viskositet är viktigt i många applikationer, till exempel tekniska smörjmedel som fungerar bra under varierande temperaturförhållanden (som i en bilmotor), eftersom prestandan hos ett smörjmedel delvis beror på dess viskositet. Tekniska problem av denna typ faller under tribologins område .

Här betecknas dynamisk viskositet med $\mu$ och kinematisk viskositet med $\nu$ . De angivna formlerna är endast giltiga för en absolut temperaturskala ; Därför, om inte annat anges, är temperaturen i kelvin .

Fysiska orsaker

Viskositet i gaser uppstår från molekyler som passerar flödesskikt och överför rörelsemängd mellan skikten. Denna överföring av momentum kan ses som en friktionskraft mellan flödeslager. Eftersom momentumöverföringen orsakas av fri rörelse av gasmolekyler mellan kollisioner, resulterar ökad termisk omrörning av molekylerna i en högre viskositet. Följaktligen ökar gasviskositeten med temperaturen.

I vätskor orsakas viskösa krafter av molekyler som utövar attraktionskrafter på varandra över flödeslager. Ökande temperatur resulterar i en minskning av viskositeten eftersom en högre temperatur innebär att partiklar har större termisk energi och lättare kan övervinna de attraktionskrafter som binder samman dem. Ett vardagligt exempel på denna viskositetsminskning är matolja som rör sig mer flytande i en het stekpanna än i en kall.

Gaser

Se även: Kinetisk teori om gaser och Chapman–Enskogs teori

Den kinetiska teorin om gaser tillåter noggrann beräkning av temperaturvariationen av gasformig viskositet. Den teoretiska grunden för den kinetiska teorin ges av Boltzmann-ekvationen och Chapman–Enskog-teorin , som tillåter korrekt statistisk modellering av molekylära banor. I synnerhet, givet en modell för intermolekylära interaktioner, kan man med hög precision beräkna viskositeten för monoatomiska och andra enkla gaser (för mer komplexa gaser, såsom de som består av polära molekyler, måste ytterligare antaganden införas som minskar teorins noggrannhet ).

Viskositetsförutsägelserna för fyra molekylära modeller diskuteras nedan. Förutsägelserna från de tre första modellerna (hård sfär, maktlag och Sutherland) kan enkelt uttryckas i termer av elementära funktioner. Lennard –Jones-modellen förutsäger ett mer komplicerat $T$ -beroende, men är mer exakt än de andra tre modellerna och används flitigt inom ingenjörspraktik.

Hård sfär kinetisk teori

Om man modellerar gasmolekyler som elastiska hårda sfärer (med massa $m$ och diameter $\sigma$ ), så förutsäger elementär kinetisk teori att viskositeten ökar med kvadratroten ur absolut temperatur $T$ :

$\mu =1.016\cdot {\frac {5}{16\sigma ^{2}}}\left({\frac { k_{\rm {B}}mT}{\pi }}\right)^{1/2}$

där $k_{\text{B}}$ är Boltzmann-konstanten . Även om man korrekt förutsäger ökningen av gasformig viskositet med temperaturen, ${\displaystyle T^{1/2}}-$ trenden inte korrekt; viskositeten hos verkliga gaser ökar snabbare än så. Att fånga det faktiska $T$ -beroendet kräver mer realistiska modeller av molekylära interaktioner, i synnerhet inkluderandet av attraktiva interaktioner som finns i alla verkliga gaser.

Makt-lagskraft

En blygsam förbättring jämfört med hårdsfärsmodellen är en repulsiv omvänd kraftlagskraft, där kraften mellan två molekyler åtskilda av avstånd $r$ är proportionell mot $1/r^{\nu }$ , där $\nu$ är en empirisk parameter. Detta är inte en realistisk modell för verkliga gaser (förutom möjligen vid hög temperatur), men ger en enkel illustration av hur förändrade intermolekylära interaktioner påverkar det förutsagda temperaturberoendet av viskositet. I det här fallet förutsäger kinetisk teori en ökning av temperaturen som $T^{s}$ , där $s=(1/2) +2/(\nu -1)$ . Mer exakt, om $\mu '$ är den kända viskositeten vid temperaturen $T'$ , då

$\mu =\mu '(T/T')^{s}$

${\displaystyle s=1/2$ tar $\nu \rightarrow \infty$ återställs det hårda sfärresultatet, . För finita $\nu }$$1/2$ , motsvarande mjukare repulsion, $s$ större än , vilket resulterar i snabbare ökning av viskositeten jämfört med modellen med hårda sfärer. Anpassning till experimentella data för väte och helium ger förutsägelser för $s$ och $\nu$ som visas i tabellen. Modellen är måttligt exakt för dessa två gaser, men felaktig för andra gaser.

Tabell: Potentialparametrar för omvänd effektlag för väte och helium
Gas	$s$	$v$	Temp. intervall (K)
Väte	0,668	12.9	273–373
Helium	0,657	13.7	43–1073

Sutherland modell

En annan enkel modell för gasformig viskositet är Sutherland-modellen, som lägger till svaga intermolekylära attraktioner till den hårda sfärmodellen. Om attraktionerna är små kan de behandlas störande , vilket leder till

$\mu ={\frac {5}{16\sigma ^{2}}}\left( {\frac {k_{\text{B}}mT}{\pi }}\right)^{1/2}\cdot \left(1+{\frac {S}{T}}\right)^{ -1}$

där ${\displaystyle S} ,$ kallad Sutherlandskonstanten, kan uttryckas i termer av parametrarna för den intermolekylära attraktionskraften. På motsvarande sätt, om $\mu '$ är en känd viskositet vid temperaturen $T'$ , då

$\mu =\mu '\left({\frac {T}{T'}}\right)^{3/2 }{\frac {T'+S}{T+S}}$

Värden för $S$ som erhållits från anpassning till experimentella data visas i tabellen nedan för flera gaser. Modellen är blygsamt noggrann för ett antal gaser ( kväve , syre , argon , luft och andra), men felaktig för andra gaser som väte och helium . I allmänhet har det hävdats att Sutherland-modellen faktiskt är en dålig modell av intermolekylära interaktioner och är användbar endast som en enkel interpolationsformel för en begränsad uppsättning gaser över ett begränsat temperaturintervall.

Tabell: Sutherlands konstanter för utvalda gaser
Gas	$S$ (K)	Temp. intervall (K)
Torr luft	113	293–373
Helium	72,9	293–373
Neon	64,1	293–373
Argon	148	293–373
Krypton	188	289–373
Xenon	252	288–373
Kväve	104,7	293–1098
Syre	125	288–1102

Lennard-Jones

Under ganska allmänna förhållanden på den molekylära modellen kan den kinetiska teoriförutsägelsen för $\mu$ skrivas i formen

$\mu ={\frac {5}{16\pi ^{1/2}}}{\frac {(mk_{\text{B}}T)^{1/2}}{\sigma ^{2}\Omega (T)}}$

där $\Omega$ kallas kollisionsintegralen och är en funktion av temperatur såväl som parametrarna för den intermolekylära interaktionen. Det bestäms helt av den kinetiska teorin, uttryckt i termer av integraler över kollisionsbanor för par av molekyler. I allmänhet $\Omega$ en komplicerad funktion av både temperatur och de molekylära parametrarna; power-lagen och Sutherland-modellerna är ovanliga genom att $\Omega$ kan uttryckas i termer av elementära funktioner.

Lennard-Jones-modellen antar en intermolekylär parpotential i formen

$V(r)=4\epsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right )^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right]$

där $\epsilon$ och $\sigma$ är parametrar och $r$ är avståndet mellan molekylernas masscentra . Som sådan är modellen designad för sfäriskt symmetriska molekyler. Ändå används det ofta för icke-sfäriskt symmetriska molekyler förutsatt att dessa inte har ett stort dipolmoment .

Kollisionsintegralen $\Omega$ för Lennard-Jones-modellen kan inte uttryckas exakt i termer av elementära funktioner. Ändå kan det beräknas numeriskt, och överensstämmelsen med experimentet är god – inte bara för sfäriskt symmetriska molekyler som ädelgaserna, utan också för många polyatomära gaser. En ungefärlig form av $\Omega$ har också föreslagits:

$\52487 e ∗ 0,14874}+0,52487e^{-0,77320T^{*}}+2,16178e^{-2,43787T^{*}}$

där $T^{*}\equiv k_{\text{B}}T/\epsilon$ . Denna ekvation har en genomsnittlig avvikelse på endast 0,064 procent av intervallet $0,3<T^{*}<100$ .

Värden för $\sigma$ och $\epsilon$ uppskattade från experimentella data visas i tabellen nedan för flera vanliga gaser.

Tabell: Lennard-Jones parametrar för utvalda gaser
Gas	$\sigma$ ( ångström )	$\epsilon /k_{\text{B}}$ (K)
Torr luft	3,617	97,0
Helium	2,576	10.2
Väte	2,915	38,0
Argon	3,432	122,4
Kväve	3,667	99,8
Syre	3,433	113
Koldioxid	3,996	190
Metan	3,780	154

Vätskor

Till skillnad från gaser finns det ingen systematisk mikroskopisk teori för vätskeviskositet. Det finns dock flera empiriska modeller som extrapolerar ett temperaturberoende baserat på tillgängliga experimentella viskositeter.

Exponentiell tvåparametrar

En enkel och utbredd empirisk korrelation för vätskeviskositet är en tvåparameters exponentiell:

$\mu =Ae^{B/T}$

Denna ekvation föreslogs först 1913 och är allmänt känd som Andrade-ekvationen (uppkallad efter den brittiske fysikern Edward Andrade ). Den beskriver exakt många vätskor över ett temperaturintervall. Dess form kan motiveras genom att modellera momentumtransport på molekylär nivå som en aktiverad hastighetsprocess, även om de fysiska antagandena som ligger bakom sådana modeller har ifrågasatts.

Tabellen nedan ger uppskattade värden för $A$ och $B$ för representativa vätskor. Omfattande tabeller över dessa parametrar för hundratals vätskor finns i litteraturen.

Anpassningsparametrar för korrelationen $\mu =Ae^{B/T}$
Flytande	Kemisk formel	A (mPa·s)	B (K)	Temp. intervall (K)
Brom	Br 2	0,0445	907,6	269–302
Aceton	C3H6O _ _ _ _	0,0177	845,6	193–333
Bromoform	CHBr 3	0,0332	1195	278–363
Pentan	C5H12 _ _ _	0,0191	722,2	143–313
Brombensen	C6H5Br _ _ _ _	0,02088	1170	273–423

Exponentialer med tre och fyra parametrar

Man kan också hitta exponentialtabeller med ytterligare parametrar, till exempel

$\mu =A\exp {\left({\frac {B}{TC}}\right)}$

och

$\mu =A\exp {\left({\frac {B}{T}}+CT+DT^{2}\right) }$

Representativa värden anges i tabellerna nedan.

Passningsparametrar för korrelationen $\mu =A\exp {\left({\frac {B}{TC}}\right)}$
Flytande	Kemisk formel	A (mPa·s)	B (K)	C (K −1 )	Temp. intervall (K)
Merkurius	Hg	0,7754	117,91	124,04	290–380
Fluor	F 2	0,09068	45,97	39,377	60–85
Leda	Pb	0,7610	421,35	266,85	600–1200
Hydrazin	N2H4 _ _ _	0,03625	683,29	83,603	280–450
Oktan	C8H 18 _ _	0,007889	1456,2	−51,44	270–400

Passningsparametrar för korrelationen $\mu =A\exp {\left({\frac {B}{T}}+CT+DT^{ 2}\right)}$
Flytande	Kemisk formel	A (mPa·s)	B (K)	C (K −1 )	D (K −2 )	Temp. intervall (K)
Vatten	H2O _ _	1,856·10 −11	4209	0,04527	−3,376·10 −5	273–643
Etanol	C2H6O _ _ _ _	0,00201	1614	0,00618	−1,132·10 −5	168–516
Bensen	C6H6 _ _ _	100,69	148,9	−0,02544	2,222·10 −5	279–561
Cyklohexan	C6H 12 _ _	0,01230	1380	−1,55·10 −3	1,157·10 −6	280–553
Naftalen	C10H8 _ _ _	3,465·10 −5	2517	0,01098	−5,867·10 −6	354–748

Modeller för kinematisk viskositet

Temperaturens inverkan på den kinematiska viskositeten $\nu$ har också beskrivits med ett antal empiriska ekvationer.

Walther -formeln skrivs vanligtvis i formen

$\log _{10}(\log _{10}(\nu +\lambda ))=AB\,\ log _{10}T$

där $\lambda$ är en skiftkonstant, och $A$ och $B$ är empiriska parametrar. I smörjmedelsspecifikationer anges normalt endast två temperaturer, i vilket fall normalt antas ett standardvärde på ${\displaystyle \lambda } = 0,7.$

Wright -modellen har formen

$\log _{10}(\log _{10}(\nu +\lambda +f (\nu )))=AB\,\log _{10}T$

där en ytterligare funktion $f(v)$ , ofta ett polynom som passar experimentella data, har lagts till i Walther-formeln.

Seeton -modellen är baserad på kurvanpassning av viskositetsberoendet för många vätskor ( köldmedier , kolväten och smörjmedel) kontra temperatur och gäller över ett stort temperatur- och viskositetsområde:

$\ln \left({\ln \left({\nu +0,7+e^ {-\nu }K_{0}\left({\nu +1.244067}\right)}\right)}\right)=AB\ln T$

där $T$ är absolut temperatur i kelvin, $\nu$ är den kinematiska viskositeten i centistokes , $K_{0}$ är den nollordningens modifierade Bessel-funktionen av det andra slaget, och $A$ och $B$ är empiriska parametrar specifika för varje vätska.

För flytande metalls viskositet som funktion av temperatur föreslog Seeton:

$\ln \left({\ln \left({\nu +0,7+e^{- \nu }K_{0}\left({\nu +1.244067}\right)}\right)}\right)=A-{B \över T}$

Se även

• Viskositetsindex
• Tribologi
• Transportfenomen
• Molekylär modellering
• Intermolekylär kraft
• Kraftfält (kemi)
• Joback metod

Anteckningar

•   Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007), Transport Phenomena (2:a upplagan), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-11539-8 .
• Chapman, Sydney; Cowling, TG (1970), The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases (3:e upplagan), Cambridge University Press
•   Hildebrand, Joel Henry (1977), Viscosity and Diffusivity: A Predictive Treatment , John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-03072-0
•   Neufeld, Philip D.; Janzen, AR; Aziz, RA (1972). "Empiriska ekvationer för att beräkna 16 av transportkollisionsintegralerna Ω(l, s)* för Lennard-Jones (12–6) potential". The Journal of Chemical Physics . 57 (3): 1100–1102. doi : 10.1063/1.1678363 . ISSN 0021-9606 .
•   Reid, Robert C.; Prausnitz, John M.; Poling, Bruce E. (1987), The Properties of Gases and Liquids , McGraw-Hill Book Company, ISBN 0-07-051799-1
• Seeton, Christopher J. (2006), "Viskositet-temperaturkorrelation för vätskor", Tribology Letters , 22 : 67–78, doi : 10.1007/s11249-006-9071-2
•   Viswanath, DS; Natarajan, G. (1989). Databok om vätskors viskositet . Hemisphere Publishing Corporation. ISBN 0-89116-778-1 .