Taxibilsnummer

För nummerskyltar tilldelade fordon för uthyrning, se Taximedaljong .

Srinivasa Ramanujan utvecklade idén om taxinummer.

Inom matematiken definieras det n: e taxicab-talet , vanligtvis betecknat Ta( n ) eller Taxicab( n ), även kallat det n : te Ramanujan-Hardy-talet, som det minsta heltal som kan uttryckas som summan av två positiva heltalskuber i n distinkta sätt. Det mest kända taxinumret är 1729 = Ta(2) = 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³ .

Namnet kommer från en konversation omkring 1919 som involverade matematikerna G. H. Hardy och Srinivasa Ramanujan . Som sagt av Hardy:

Jag minns att jag en gång besökte honom [Ramanujan] när han låg sjuk på Putney . Jag hade åkt taxi nr 1729 och anmärkte att numret tycktes vara ganska tråkigt och att jag hoppades att det inte var ett ogynnsamt omen. "Nej", svarade han, "det är ett mycket intressant tal; det är det minsta talet som kan uttryckas som summan av två [positiva] kuber på två olika sätt."

Historia och definition

Konceptet nämndes första gången 1657 av Bernard Frénicle de Bessy , som publicerade Hardy–Ramanujan-talet Ta(2) = 1729. Detta speciella exempel från 1729 gjordes berömt i början av 1900-talet av en berättelse som involverade Srinivasa Ramanujan . År 1938 bevisade GH Hardy och EM Wright att sådana tal finns för alla positiva heltal n , och deras bevis omvandlas enkelt till ett program för att generera sådana tal. Beviset gör dock inga påståenden alls om huruvida de sålunda genererade talen är de minsta möjliga och därför kan det inte användas för att hitta det faktiska värdet av Ta( n ).

Taxibilsnumren efter 1729 hittades med hjälp av datorer. John Leech erhöll Ta(3) 1957. E. Rosenstiel, JA Dardis och CR Rosenstiel hittade Ta(4) 1989. JA Dardis hittade Ta(5) 1994 och det bekräftades av David W. Wilson 1999. Ta( 6) tillkännagavs av Uwe Hollerbach på NMBRTHRYs e-postlista den 9 mars 2008, efter en artikel från 2003 av Calude et al. det gav en 99% sannolikhet att talet faktiskt var Ta(6). Övre gränser för Ta(7) till Ta(12) hittades av Christian Boyer 2006.

Begränsningen av summan till positiva tal är nödvändig, eftersom att tillåta negativa tal tillåter fler (och mindre) förekomster av tal som kan uttryckas som summor av kuber på n distinkta sätt. Begreppet cabtaxinummer har införts för att möjliggöra alternativa, mindre restriktiva definitioner av denna karaktär. På sätt och vis är specifikationen av två summeringar och potenser av tre också begränsande; ett generaliserat taxinummer tillåter att dessa värden är andra än två respektive tre.

Kända taxinummer

Hittills är följande 6 taxinummer kända:

${\begin{aligned}\operatörsnamn {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatörsnamn {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3 }\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}$

${\ displaystyle {\begin{aligned}\operatörsnamn {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^ {3}+414^{3}\end{aligned}}}$

$Ta$

$\end{aligned}}}$

$4898865927696}&38476966^37^37^37^7^37^37^37^37^37^7^3} \\ &=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{$

${\begin{aligned}\operatörsnamn {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{06}+21}&=582162^{06}206}\3^3}\28}&=582162^{06}206} +28894803 ^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\ \&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}$

Övre gränser för taxinummer

För följande taxinummer är övre gränser kända:

${ \displaystyle {\begin{matrix}\operatörsnamn {Ta} (7)&\leq &24885189317885898975235988544&=&2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&52&6236262626262662222^{3}\\&52&62362623626 3}\\&&& =&2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&&&=&2894406187^{3}+860447381^{3}\\&&&=&2915734948^{3}+4595331128^&{3}+4595331128^&{0}+459^331128 }+309481473^{3}\\&&&=&2919526806^{3}+58798362^{3}\end{matrix}}} Ta$

${\begin{matrix}\operatörsnamn {Ta$

$)&\leq &50974398750539071400590819921724352&=&299512063576^{3}+288873662876^{3}\\&&&=&336379^{63}482\{3}\\&&&=&336379^494264+82\{9}&336379^494264+82 &=&341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&&& =&347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&&&=&367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&&&=&370298338396}^{3}\&&&=&370298338396}^{3}&4&53}^{6} 70633638081^{3 }+39304147071^{3}\\&&&$

${\begin{matrix}\ operatörsnamn {Ta} (9)&\leq &136897813798023990395783317207361432493888&=&41632176837064^{3}+4015344\39139764^&8}&39139764^&3}&3}&39139764^&{6}+3}&3} 32610071299666^{3}\\&&&=&47409526164756^{3}+31188298220688^ {3}\\&&&=&48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&&&=&51094952419111^{3}+15189477616793^{3}&5\&4&7=41\5\&4&7=41&41+41 03002584^{3}\\ &&&=&51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&&&=&51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\&&&&=&5153684+&=&51533841 6^{3}\end{matris}}$

$^35675733128 \\&&&=&17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&&&=&17873391364113012^{3}+11757988429199316\51&5131312\51 48^{3}+10901351979041108^{3}\\&&&=&19262797062004847 ^{3}+5726433061530961^{3}\\&&&=&19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&&&&=&1942231453635864+{3136231453635864+ }\\&&&=&19426825887781312^{3}+ 1536982932706676^{3}\\&&&=&19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&&&=&19429979328281886^1{3}end }}}$

${\begin{matrix}\operatorname {Ta} (11)&\leq &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632&=&11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\ &&&=&12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\&&&=&12993955521710159724^{3}+85480574831\3&6&7^{258331\3&6&7^{258331\3&9 7283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&&&=&13600192974314732786^{ 3}+6716379921779399326^{3}\\&&&=&14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&&&=&148247248{3}3}372248{3}37247228 78845220136^{3}\\&&&=&14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^ {3}\\&&&=&14123302420417013824^{3}+1117386592077753452^{3}\\&&&=&14125159098802697120^{3}+657281^3&08572484\7&7753452 25594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\end {matrix}}$

${\begin{aligned}\operatorname {Ta} (12 )\leq &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=3390061152951237461^29}{49}{30}+37461^291 8124676^{3}\\&=38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\&=38605041855000884540}+26554012859002979271194^{3}\\&=38605041855000884540}+01924 92^{3}\ \&=39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&=40406173326689071107206^{3}+157954634\5634\5634\5639\40406173326689071107206^{3}+19954639 1606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&=41912636072508031936196^ {3}+6605593881249149024056^{3}\\&=41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&=31949601^{3}\\&=3194960^03}3194960^03} 19755565063005505892^{3}\\&=41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628 ^{3}\\&=41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&=41967142660804626363462^{3}+545^7{3}+5425\97}{3}+5425 justerad}}$

Kubfria taxinummer

Ett mer restriktivt taxiproblem kräver att taxinumret är kubfritt , vilket innebär att det inte är delbart med någon annan kub än 1 ³ . När ett kubfritt taxinummer T skrivs som T = x ³ + y ^{3 måste} talen x och y vara relativt primtal. Bland taxinumren Ta( n ) ovan är endast Ta(1) och Ta(2) kubfria taxinummer. Det minsta kubfria taxinumret med tre representationer upptäcktes av Paul Vojta (opublicerat) 1981 medan han var doktorand. Det är

15170835645

= 517 ³ + 2468 ³

= 709 ³ + 2456 ³

= 1733 ³ + 2152 ³ .

Det minsta kubfria taxinumret med fyra representationer upptäcktes av Stuart Gascoigne och oberoende av Duncan Moore 2003. Det är

1801049058342701083

= 92227 ³ + 1216500 ³

= 136635 ³ + 1216102 ³

= 341995 ³ + 1207602 ³

= 600259 ⁵⁸ + ⁴³⁶

(sekvens A080642 i OEIS ).

Se även

• 1729 (nummer)
• Diofantisk ekvation
• Eulers summa av makter gissningar
• Generaliserat taxinummer
• Beals gissning
• Jacobi–Madden ekvation
• Problem med Prouhet–Tarry–Escott
• Pythagoras fyrdubbla
• Summor av tre kuber
• Summor av potenser , en lista över relaterade gissningar och satser

Anteckningar

• GH Hardy och EM Wright, An Introduction to the Theory of Numbers , 3:e upplagan, Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
• J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations , Proc. Camb. Phil. Soc. 53, 778–780, 1957.
• E. Rosenstiel, JA Dardis och CR Rosenstiel, De fyra minsta lösningarna i distinkta positiva heltal i de diofantiska ekvationerna = x ³ + y ³ = z ³ + w ³ = u ³ + v ³ = m ³ + n ³ , Bull. Inst. Matematik. Appl. 27(1991) 155-157; MR 1125858 , online .
• David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number är 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online . (Wilson var omedveten om JA Dardis tidigare upptäckt av Ta(5) 1994 när han skrev detta.)
• DJ Bernstein, Uppräkning av lösningar till $p(a)+q(b)=r(c)+s(d)$ , Matematik of Computation 70, 233 (2000), 389–394.
• CS Calude, E. Calude och MJ Dinneen: Vad är värdet på Taxicab(6)? , Journal of Universal Computer Science , vol. 9 (2003), sid. 1196–1203

externa länkar

• Ett inlägg från 2002 till sändlistan Number Theory av Randall L. Rathbun
• Grime, James; Bowley, Roger. Haran, Brady (red.). 1729: Taxi Cab Number eller Hardy-Ramanujan Number . Numberphile.
• Taxibil och annan matematik på Euler
• Singh, Simon . Haran, Brady (red.). "Taxinummer i Futurama" . Numberphile.