Jacobi–Madden ekvation

Jacobi –Madden-ekvationen är den diofantiska ekvationen

$a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}= (a+b+c+d)^{4},$

föreslog av fysikern Lee W. Jacobi och matematikern Daniel J. Madden 2008. Variablerna a , b , c och d kan vara vilka heltal som helst , positiva, negativa eller 0. Jacobi och Madden visade att det finns en oändlighet av lösningar av denna ekvation med alla variabler som inte är noll.

Historia

Jacobi–Madden-ekvationen representerar ett speciellt fall av ekvationen

$a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=e^{4},$

först föreslog 1772 av Leonhard Euler som antog att fyra är det minsta antalet (större än en) av fjärde potenser av heltal som inte är noll som kan summera till en annan fjärde potens. Denna gissning, nu känd som Eulers summa av maktförmodan , var en naturlig generalisering av Fermats sista teorem , den senare har bevisats för den fjärde makten av Pierre de Fermat själv.

Noam Elkies var först med att hitta en oändlig serie lösningar till Eulers ekvation med exakt en variabel lika med noll, vilket motbevisade Eulers gissning av potenssumma för fjärde potensen.

Men fram till Jacobi och Maddens publicering var det inte känt om det finns oändligt många lösningar på Eulers ekvation med alla variabler som inte är noll. Endast ett ändligt antal sådana lösningar var kända. En av dessa lösningar, upptäckt av Simcha Brudno 1964, gav en lösning på Jacobi–Madden-ekvationen:

$5400^{4}+1770^{4}+(-2634)^{4}+955^{4}=(5400+1770-2634+955)^{4}.$

Närma sig

Jacobi och Madden började med,

$a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=( a+b+c+d)^{4}$

och identiteten,

$a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}= 2(a^{2}+ab+b^{2})^{2}$

Lägga till $(a+b)^{4}+(c+d)^{4}$ till båda sidor av ekvationen,

$a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}+c^{4}+d^{4}+(c+d)^{4}=(a+ b)^{4}+(c+d)^{4}+(a+b+c+d)^{4}$

det kan ses att det är en speciell pytagoreisk trippel ,

$(a^{2}+ab+b^{2})^ {2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}={\big (}(a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+ (c+d)^{2}{\big )}^{2}={\tfrac {1}{4}}{\big (}(a+b)^{2}+(c+d)^ {2}+(a+b+c+d)^{2}{\big )}^{2}$

De använde sedan Brudnos lösning och en viss elliptisk kurva för att konstruera en oändlig serie lösningar till Jacobi–Madden-ekvationen.

Andra initiala lösningar

Jacobi och Madden märkte att ett annat utgångsvärde, som t.ex

$(-31764)^{4}+0}+48}^{5$

hittat av Jaroslaw Wroblewski, skulle resultera i en annan oändlig serie av lösningar.

I augusti 2015 tillkännagav Seiji Tomita två nya små lösningar på Jacobi–Madden-ekvationen:

$5 1229559 )^{4}+1984340$

$561760^{4}+1493309^{4}+3597130^{4}+(-1953890)^{4}=(561760+1493309+35975130}\9)^{101} ,$

som leder till två nya serier av lösningar konstruerade med Jacobi och Madden-metoden.

Se även

• Beals gissning
• Problem med Prouhet–Tarry–Escott
• Taxibilsnummer
• Pythagoras fyrdubbla
• Lander, Parkin och Selfridge gissningar
• Summor av potenser , en lista över relaterade gissningar och satser