Törnqvist index

Inom nationalekonomi är Törnqvistindex ett pris- eller kvantitetsindex . I praktiken beräknas Törnqvists indexvärden för på varandra följande perioder, sedan träds dessa samman, eller " kedjas ". Kärnberäkningen avser alltså inte ett enda basår.

Beräkning

Prisindex för en period normaliseras vanligtvis till 1 eller 100, och den perioden kallas "basperiod".

Ett Törnqvist- eller Törnqvist-Theil-prisindex är det vägda geometriska medelvärdet av prisrelationerna med aritmetiska medelvärden av värdeandelarna i de två perioderna som vikter.

De data som används är priser och kvantiteter i två tidsperioder, (t-1) och (t), för var och en av n varor som indexeras med i .

Om vi ​​betecknar priset på artikel i vid tidpunkten t-1 med ${\displaystyle p_{i,t-1}} ,$ och, analogt, definierar vi $q_{i, t}$ för att vara den köpta kvantiteten av artikel i vid tidpunkten t, då kan Törnqvists prisindex $P_{t}$ vid tidpunkten t beräknas enligt följande:

${\frac {P_{t}}{P_{t- 1}}}=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {p_{i,t}}{p_{i,t-1}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\left[{\frac {p_{i,t-1}q_{i,t-1}}{\sum _{j=1}^{n}\left(p_{j ,t-1}q_{j,t-1}\right)}}+{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{j=1}^{n}\ vänster(p_{j,t}q_{j,t}\höger)}}\höger]}$

Nämnarna i exponenten är summan av de totala utgifterna i var och en av de två perioderna. Detta kan uttryckas mer kompakt i vektornotation . Låt $p_{t-1}$ beteckna vektorn för alla priser vid tidpunkten t-1 och analogt definiera vektorerna $q_{t-1}$ , $p_{t}$ och $q_{t}$ . Då kan uttrycket ovan skrivas om:

${\frac {P_{t}}{P_{t-1}}}=\prod _{i=1}^{n}\left({ \frac {p_{it}}{p_{i,t-1}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\left[{\frac {p_{i,t-1}q_ {i,t-1}}{p_{t-1}\cdot q_{t-1}}}+{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{p_{t}\cdot q_{t}}}\right]}$

I detta andra uttryck, lägg märke till att den totala exponenten är den genomsnittliga andelen av utgifterna för vara i över de två perioderna . Törnqvistindexet väger upplevelserna i de två perioderna lika, så det sägs vara ett symmetriskt index. Vanligtvis förändras inte den andelen mycket; t.ex. kan matutgifter i en miljon hushåll vara 20 % av inkomsten under en period och 20,1 % nästa period.

I praktiken beräknas Törnqvist-index ofta med hjälp av en ekvation som är resultatet av att loggar från båda sidor, som i uttrycket nedan som beräknar samma $P_{t}$ som de ovan.

$ln{\frac {P_{t}}{P_{t-1}}}={\frac {1}{2}}\summa _{i=1}^{n}\left({\frac {p_{i,t-1}q_{i,t-1}}{p_{t-1}q_{t-1}}}+ {\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{p_{t}q_{t}}}\right)ln\left({\frac {p_{i,t}}{p_{i ,t-1}}}\right)$

Ett Törnqvist kvantitetsindex kan beräknas analogt med hjälp av priser på vikter. Kvantitetsindex används för att beräkna aggregerade index för fysiskt "kapital" som sammanfattar utrustning och strukturer av olika typer i en tidsserie. Att byta ut p mot q och q mot p ger en ekvation för ett kvantitetsindex:

${\displaystyle {\frac {Q_{t}}{Q_{$

Om man behöver matchade kvantitets- och prisindex kan de beräknas direkt från dessa ekvationer, men det är vanligare att beräkna ett prisindex genom att dividera de totala utgifterna varje period med kvantitetsindexet så att de resulterande indexen multipliceras till totala utgifter. Detta tillvägagångssätt kallas det indirekta sättet att beräkna ett Törnqvist-index, och det genererar tal som inte är exakt samma som en direkt beräkning. Det finns forskning om vilken metod man ska använda bland annat utifrån om prisförändringar eller kvantitetsförändringar är mer volatila. För multifaktorproduktivitetsberäkningar används den indirekta metoden.

Törnqvist - index ligger nära de siffror som Fisher - index ger . Fisher-index är ibland att föredra i praktiken eftersom det hanterar nollkvantiteter utan särskilda undantag, medan en kvantitet på noll i ekvationerna ovan skulle få Törnqvist-indexberäkningen att gå sönder.

Teori

Ett Törnqvist-index är en diskret approximation till ett kontinuerligt Divisia-index . Ett Divisia-index är en teoretisk konstruktion, en kontinuerligt tidsvägd summa av tillväxttakten för de olika komponenterna, där vikterna är komponentens andelar av det totala värdet. För ett Törnqvist-index definieras tillväxthastigheterna som skillnaden i naturliga logaritmer för successiva observationer av komponenterna (dvs. deras log-förändring) och vikterna är lika med medelvärdet av komponenternas faktorandelar i motsvarande par av komponenter. perioder (vanligtvis år). Index av Divisia-typ har fördelar jämfört med viktade index för konstant basår, eftersom de relativa priserna på insatsvaror förändras, inkluderar förändringar både i köpta kvantiteter och relativa priser. Till exempel kan ett Törnqvist-index som sammanfattar arbetsinsats väga tillväxttakten av timmarna för varje grupp av arbetare med andelen arbetsersättning de får.

Törnqvist-indexet är ett superlativt index , vilket betyder att det kan approximera vilken smidig produktions- eller kostnadsfunktion som helst . "Smidig" betyder här att små förändringar i relativa priser för en vara förknippas med små förändringar i mängden av den som används. Törnqvist motsvarar exakt translogproduktionsfunktionen , vilket innebär att givet en prisändring och en optimal respons i kvantiteter kommer nivån på indexet att förändras exakt lika mycket som förändringen i produktion eller nytta skulle vara. För att uttrycka den tanken använder Diewert (1978) denna frasering som andra ekonomer nu känner igen: Törnqvist-indexproceduren "är exakt för" translogproduktionen eller nyttofunktionen. används ibland termen translogindex för ett Törnqvist-index.

Törnqvist-indexet är ungefär "konsekvent i aggregering ", vilket innebär att nästan exakt samma indexvärden är resultatet av att (a) kombinera många priser och kvantiteter, eller (b) kombinera undergrupper av dem tillsammans och sedan kombinera dessa index. För vissa ändamål (som stora årliga aggregat) behandlas detta som tillräckligt konsekvent, och för andra (som månadsprisförändringar) är det inte det.

Historia och användning

Törnqvists indexteorin tillskrivs Leo Törnqvist (1936), som kanske arbetade med andra på Finlands Bank .

Törnqvist-index används i en mängd officiella pris- och produktivitetsstatistik.

Tidsperioderna kan vara år, som i multifaktorproduktivitetsstatistik, eller månader, som i USA:s Chained CPI .

Se även

• Lista över prisindexformler