Tåg spår karta

Inom det matematiska ämnet geometrisk gruppteori är en tågspårskarta en kontinuerlig karta f från en finit sammankopplad graf till sig själv som är en homotopiekvivalens och som har särskilt fina avbrytningsegenskaper med avseende på iterationer. Denna karta skickar hörn till hörn och kanter till icke-triviala kantbanor med egenskapen att för varje kant e av grafen och för varje positivt heltal n är banan f ⁿ ( e ) nedsänkt , det vill säga f ⁿ ( e ) är lokalt injektiv på e . Tågspårskartor är ett nyckelverktyg för att analysera dynamiken i automorfismer hos ändligt genererade fria grupper och i studiet av Culler – Vogtmann yttre rymden .

Historia

Tågspårskartor för fria gruppautomorfismer introducerades i en tidning från 1992 av Bestvina och Handel. Föreställningen motiverades av Thurstons tågspår på ytor, men det fria gruppfallet är väsentligt annorlunda och mer komplicerat. I sin tidning från 1992 bevisade Bestvina och Handel att varje irreducerbar automorfism av F _n har en representant för tågspår. I samma artikel introducerade de begreppet ett relativt tågspår och tillämpade tågspårsmetoder för att lösa Scotts gissning som säger att för varje automorfism α av en ändligt genererad fri grupp F _{n är} den fasta undergruppen av α högst fri från rang n . I en efterföljande artikel tillämpade Bestvina och Handel tågspårsteknikerna för att erhålla ett effektivt bevis på Thurstons klassificering av homeomorfismer av kompakta ytor (med eller utan gränser) som säger att varje sådan homeomorfism , upp till isotopi , antingen är reducerbar, av ändlig ordning eller pseudo-anosov .

Sedan dess har tågspår blivit ett standardverktyg i studiet av algebraiska, geometriska och dynamiska egenskaper hos automorfismer av fria grupper och undergrupper av Out( F _n ). Tågspår är särskilt användbara eftersom de gör det möjligt att förstå långsiktig tillväxt (i termer av längd) och avbrytningsbeteende för stora iterationer av en automorfism av F _n applicerad på en viss konjugationsklass i F _n . Denna information är särskilt användbar när man studerar dynamiken i verkan av element i Out( F _n ) på Culler–Vogtmann yttre rymden och dess gräns och när man studerar F _n aktioner på verkliga träd . Exempel på tillämpningar av tågspår inkluderar: ett teorem från Brinkmann som bevisar att för en automorfism α av F _n är kartläggningstorusgruppen av α ordhyperbolisk om och endast om α inte har några periodiska konjugationsklasser; ett teorem från Bridson och Groves att för varje automorfism α av F _n tillfredsställer kartläggningstorusgruppen av α en kvadratisk isoperimetrisk olikhet ; ett bevis på algoritmisk lösbarhet för konjugationsproblemet för fria-för-cykliska grupper; och andra.

Tågspår var ett nyckelverktyg i beviset från Bestvina, Feighn och Handel att gruppen Out( F _n ) uppfyller bröstalternativet .

Maskineriet med tågspår för injektiv endomorfismer av fria grupper utvecklades senare av Dicks och Ventura.

Formell definition

Kombinatorisk karta

För en finit graf Γ (som här betraktas som ett 1-dimensionellt cellkomplex ) är en kombinatorisk karta en kontinuerlig karta

f : Γ → Γ

Så att:

Kartan f tar hörn till hörn.
För varje kant e av Γ är dess bild f ( e ) en icke-trivial kantbana e ₁ ... e _m i Γ där m ≥ 1. Dessutom kan e delas in i m intervall så att det inre av i -th intervall avbildas av f homeomorft på det inre av kanten e _i för i = 1,..., m .

Tåg spår karta

Låt Γ vara en ändlig sammankopplad graf. En kombinatorisk karta f : Γ → Γ kallas en tågspårskarta om kantbanan f ^{n (} e ) för varje kant e av Γ och varje heltal n ≥ 1 inte innehåller några backspår, det vill säga den innehåller inga undervägar av formen hh ⁻¹ där h är en kant av Γ . Med andra ord är begränsningen av f ⁿ till e lokalt injektiv (eller en nedsänkning) för varje kant e och varje n ≥ 1.

När den tillämpas på fallet n = 1, innebär denna definition i synnerhet att vägen f ( e ) inte har några bakåtspår.

Topologisk representant

Låt F _k vara en fri grupp med ändlig rang k ≥ 2. Fixera en fri bas A för F _k och en identifikation av F _k med den fundamentala gruppen av rosen R _k som är en kil av k cirklar som motsvarar grundelementen för A .

Låt φ ∈ Out( F _k ) vara en yttre automorfism av F _k .

En topologisk representant för φ är en trippel ( τ , Γ , f ) där:

Γ är en finit sammankopplad graf med det första bettitalet k (så att grundgruppen av Γ är fri från rang k ).
τ : R _k → Γ är en homotopi-ekvivalens (vilket i detta fall betyder att τ är en kontinuerlig karta som inducerar en isomorfism på nivån av fundamentala grupper).
f : Γ → Γ är en kombinatorisk karta som också är en homotopiekvivalens.
Om σ : Γ → R _k är en homotopi invers av τ så är kompositionen

σfτ : R _k → R _k

inducerar en automorfism av F _k = π ₁ ( R _k ) vars yttre automorfismklass är lika med φ .

Kartan τ i definitionen ovan kallas en markering och undertrycks vanligtvis när topologiska representanter diskuteras. Således, genom missbruk av notation, säger man ofta att i ovanstående situation f : Γ → Γ en topologisk representant för φ .

Tågspårsrepresentant

Låt φ ∈ Out( F _k ) vara en yttre automorfism av F _k . En tågspårskarta som är en topologisk representant för φ kallas ett tågspår som representerar φ .

Lagliga och illegala svängar

Låt f : Γ → Γ vara en kombinatorisk karta. Ett sväng är ett oordnat par e , h av orienterade kanter av Γ (inte nödvändigtvis distinkta) som har en gemensam initial vertex. En tur e , h är degenererad om e = h och icke degenererad annars.

En sväng e , h är olaglig om för vissa n ≥ 1 banorna f ⁿ ( e ) och f ⁿ ( h ) har ett icke-trivialt gemensamt initialsegment (det vill säga de börjar med samma kant). En sväng är laglig om den inte är olaglig .

En kantbana e ₁ ,..., e _m sägs innehålla svängar e _i⁻¹ , e _{i +1} för i = 1,..., m −1.

En kombinatorisk karta f : Γ → Γ är en tågspårskarta om och endast om för varje kant e av Γ banan f ( e ) inte innehåller några olagliga svängar.

Derivatkarta

Låt f : Γ → Γ vara en kombinatorisk karta och låt E vara mängden orienterade kanter på Γ . Sedan bestämmer f dess derivatavbildning Df : E → E där för varje kant e Df ( e ) är den initiala kanten på banan f ( e ). Kartan Df sträcker sig naturligtvis till kartan Df : T → T där T är mängden av alla varv i Γ . För ett varv t givet av ett kantpar e , h , är dess bild Df ( t ) varvet Df ( e ), Df ( h ). En tur t är laglig om och endast om för varje n ≥ 1 svängen ( Df ) ⁿ ( t ) är icke degenererad. Eftersom uppsättningen T av svängar är ändlig tillåter detta faktum att man algoritmiskt kan bestämma om en given sväng är laglig eller inte och följaktligen algoritmiskt bestämma, givet f , huruvida f är en tågspårskarta eller inte.

Exempel

Låt φ vara automorfismen av F ( a , b ) som ges av φ ( a ) = b , φ ( b ) = ab . Låt Γ vara kilen av två slingkanter E _a och E _b som motsvarar de fria baselementen a och b , kilade vid vertex v . Låt f : Γ → Γ vara kartan som fixerar _v och skickar kanten E _a till Eb och _som skickar kanten Eb till kantbanan E _a Eb _. Då är f ett tågspår som är representativt för φ .

Huvudresultat för irreducerbara automorfismer

Oreducerbara automorfismer

En yttre automorfism φ av F _k sägs vara reducerbar om det finns en fri produktnedbrytning

F_{k}=H_{1}\ast \dots H_{m}\ast U

där alla Hi _är icke-triviala, där m ≥ 1 och där φ permuterar konjugationsklasserna för H ₁_, ..., Hm i F _k . En yttre automorfism φ av F _k sägs vara irreducerbar om den inte är reducerbar.

Det är känt att φ ∈ Out( F _k ) är irreducerbar om och endast om för varje topologisk representant f : Γ → Γ av φ , där Γ är ändlig, sammankopplad och utan grad-1-hörn, någon riktig f -invariant subgraf av Γ är en skog.

Bestvina–Handel teorem för irreducerbara automorfismer

Följande resultat erhölls av Bestvina och Handel i deras 1992 uppsats där tågspårskartor ursprungligen introducerades:

Låt φ ∈ Out( F _k ) vara irreducerbar. Sedan finns det ett tågspår som är representativt för φ .

Skiss av beviset

För en topologisk representant f : Γ → Γ för en automorfism φ av F _k är övergångsmatrisen M ( f ) en r x r matris (där r är antalet topologiska kanter av Γ ) där posten m _ij är antalet av gånger banan f ( e _j ) passerar genom kanten e _i (i endera riktningen). Om φ är irreducerbar är övergångsmatrisen M ( f ) irreducerbar enligt Perron-Frobenius-satsen och den har ett unikt Perron-Frobenius-egenvärde λ ( f ) ≥ 1 som är lika med spektralradien för M ( f ) .

Man definierar sedan ett antal olika rörelser på topologiska representanter för φ som alla ses antingen minska eller bevara Perron–Frobenius egenvärde för övergångsmatrisen. Dessa drag inkluderar: dela upp en kant; valens-ett-homotopi (att bli av med en grad-1-vertex); valens-två-homotopi (att bli av med en grad-två vertex); kollapsa en invariant skog; och vikning. Av dessa rörelser reducerade valens-ett-homotopin alltid Perron-Frobenius-egenvärdet.

Med utgångspunkt i någon topologisk representant f för en irreducerbar automorfism φ konstruerar man sedan algoritmiskt en sekvens av topologiska representanter

f = f ₁ , f ₂ , f ₃ ,...

av φ där f _n erhålls från f _{n −1} genom flera drag, specifikt valda. I den här sekvensen, om f _n inte är en tågspårskarta, innebär dragen som producerar f _{n +1} från f _n nödvändigtvis en sekvens av veck följt av en valens-ett-homotopi, så att Perron–Frobenius-egenvärdet för f _{n + 1} är strikt mindre än den för f _n . Processen är arrangerad på ett sådant sätt att Perron–Frobenius egenvärden för kartorna f _n tar värden i en diskret delmängd av $\mathbb {R}$ . Detta _garanterar att processen avslutas i ett ändligt antal steg och den sista termen fN i sekvensen är ett tågspår som är representativt för φ .

Tillämpningar för tillväxt

En konsekvens (kräver ytterligare argument) av ovanstående sats är följande:

Om φ ∈ Out( F _k ) är irreducerbar så beror Perron–Frobenius-egenvärdet λ ( f ) inte på valet av ett tågspår som är representativt f för φ utan bestäms unikt av φ själv och betecknas med λ ( φ ). Talet λ ( φ ) kallas tillväxthastigheten för φ .
Om φ ∈ Out( F _k ) är irreducerbar och av oändlig ordning så finns λ ( φ ) > 1. Dessutom finns det i detta fall för varje fri bas X av F _k och för de flesta icke-triviala värden på w ∈ F _k C ≥ 1 så att för alla n ≥ 1

{\frac {1}{C}}\lambda ^{n}(\phi )\leq ||\phi ^{n}(w)||_{X }\leq C\lambda ^{n}(\phi ),

där || u || _X är den cykliskt reducerade längden av ett element u av F _k med avseende på X . De enda undantagen inträffar när F _k motsvarar grundgruppen för en kompakt yta med gränsen S , och φ motsvarar en pseudo-Anosov-homeomorfism av S , och w motsvarar en väg som går runt en komponent av gränsen till S .

Till skillnad från för element i kartläggning av klassgrupper , för en irreducerbar φ ∈ Out( F _k ) är det ofta så att

λ ( φ ) ≠ λ ( φ ⁻¹ ).

Relativa tågspår

Tillämpningar och generaliseringar

Den första stora tillämpningen av tågspår gavs i den ursprungliga tidningen 1992 av Bestvina och Handel där tågspår introducerades. Uppsatsen gav ett bevis för Scotts gissning som säger att för varje automorfism α av en ändligt genererad fri grupp F _{n är} den fasta undergruppen av α fri från rang högst n .
I en efterföljande artikel tillämpade Bestvina och Handel tågspårsteknikerna för att erhålla ett effektivt bevis på Thurstons klassificering av homeomorfismer av kompakta ytor (med eller utan gränser) som säger att varje sådan homeomorfism , upp till isotopi , antingen är reducerbar, av ändlig ordning. eller pseudo-anosov .
Tågspår är huvudverktyget i Los algoritm för att avgöra om två irreducerbara element i Out( är _Fn Fn ₎ konjugerade i Out( ).
Ett teorem från Brinkmann som bevisar att för en automorfism α av F _n är kartläggningstorusgruppen av α ordhyperbolisk om och endast om α inte har några periodiska konjugationsklasser.
Ett teorem av Levitt och Lustig som visar att en helt irreducerbar automorfism av en F _n har "nord-sydlig" dynamik när den agerar på kompakteringen av Thurston-typ av Culler–Vogtmann yttre rymden .
En sats av Bridson och Groves som för varje automorfism α av F _n den kartläggning torus gruppen av α tillfredsställer en kvadratisk isoperimetrisk olikhet .
Beviset av Bestvina, Feighn och Handel på att gruppen Out( F _n ) uppfyller Tits-alternativet .
En algoritm som, givet en automorfism α av Fn , avgör huruvida den fasta undergruppen av α _är trivial eller inte och hittar en ändlig genereringsmängd för den fasta undergruppen.
Beviset på algoritmisk lösbarhet av konjugationsproblemet för fria-för-cykliska grupper av Bogopolski, Martino, Maslakova och Ventura.
Maskineriet med tågspår för injektiv endomorfismer av fria grupper , som generaliserar fallet med automorfismer, utvecklades i en bok från Dicks och Ventura från 1996.

Se även

Grundläggande referenser

Bestvina, Mladen; Händel, Michael (1992). "Tågspår och automorfismer av fria grupper". Annals of Mathematics . Andra serien. 135 (1): 1–51. doi : 10.2307/2946562 . JSTOR 2946562 . MR 1147956 .
Warren Dicks och Enric Ventura. Gruppen fixerad av en familj av injektiva endomorfismer av en fri grupp. Contemporary Mathematics, 195. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. ISBN 0-8218-0564-9
Oleg Bogopolski. Introduktion till gruppteori . EMS läroböcker i matematik. European Mathematical Society , Zürich, 2008. ISBN 978-3-03719-041-8

Fotnoter

externa länkar

Peter Brinkmanns minikursanteckningar om tågspår [1] [2] [3] [4]