Fullständigt irreducerbar automorfism

I det matematiska ämnet geometrisk gruppteori är en helt irreducerbar automorfism av den fria gruppen F _n ett element av Out( F _n ) som inte har några periodiska konjugationsklasser av korrekta fria faktorer i F _n (där n > 1). Fullständigt irreducerbara automorfismer kallas också "irreducible with irreducible powers" eller "iwip" automorphisms. Föreställningen att vara helt irreducerbar ger en nyckel Out( F _n ) motsvarighet till föreställningen om ett pseudo-Anosov-element av kartläggningsklassgruppen för en yta av ändlig typ. Fullständigt irreducibles spelar en viktig roll i studiet av strukturella egenskaper hos enskilda element och undergrupper av Out( F _n ).

Formell definition

Låt $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ där $n\geq 2$ . Då kallas $\varphi$ helt irreducerbar om det inte finns ett heltal $p\neq 0$ och en korrekt fri faktor $A$ av $F_{n}$ så att ${\displaystyle \varphi ^{p}([A])=[A]} ,$ där $[A]$ är konjugationsklassen för $A$ i $F_{n}$ . Att här säga att $A$ är en korrekt fri faktor av $F_{n}$ betyder att $A\neq 1$ och det finns en undergrupp $B\leq F_{n},B\neq 1$ så att $F_{n}=A\ast B$ .

Dessutom kallas $\Phi \in \operatorname {Aut} (F_{n})$ helt irreducerbar om den yttre automorfismklassen $\ varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ av $\Phi$ är helt irreducerbar.

Två helt irreducibles $\varphi ,\psi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ kallas oberoende om $\langle \varphi \rangle \cap \langle \psi \rangle =\{1\}$ .

Förhållande till irreducerbara automorfismer

Uppfattningen om att vara helt irreducerbar växte fram ur en äldre föreställning om en ``irreducerbar" yttre automorfism av ${\displaystyle F_{n}} som$ ursprungligen introducerades i. Ett element $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ , där $n\geq 2$ , kallas irreducible om det inte finns en fri produktnedbrytning

$F_{n}=A_{1}\ast \dots \ast A_{k}\ast C$

med $k\geq 1$ , och med $A_{i}\neq 1,i=1,\dots k$ är korrekta fria faktorer för $F_{n}$ , så att $\varphi$ permuterar konjugationsklasserna $[A_{1}],\dots ,[A_ {k}]$ .

Då är $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ helt irreducerbar enligt definitionen ovan om och endast om för varje $p \neq 0$$\varphi ^{p}$ är irreducerbar.

Det är känt att för alla atoroidala ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})} ($ det vill säga utan periodiska konjugationsklasser av icke-triviala element i ${\ displaystyle F_{n}}$ ), att vara irreducerbar motsvarar att vara helt irreducerbar. För icke-atoroidala automorfismer producerar Bestvina och Handel ett exempel på ett irreducerbart men inte helt irreducerbart element av ${\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})} ,$ inducerat av en lämpligt vald pseudo- Anosov homeomorfism av en yta med mer än en gränskomponent.

Egenskaper

• Om $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ och $p\neq 0$ så är $\varphi$ helt irreducerbar om och endast om $\varphi ^{p}$ är helt irreducerbar.
• Varje helt irreducerbar $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ kan representeras av en expanderande irreducerbar tågspårskarta .
• Varje helt irreducerbar $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ har exponentiell tillväxt i $F_{n}$ given av en sträckfaktor $\lambda =\lambda (\varphi )>1$ . Denna sträckfaktor har egenskapen att för varje fri bas $X$ av $F_{n}$ (och, mer generellt, för varje punkt i Culler–Vogtmann yttre rymden ${ \displaystyle X\in cv_{n}}$ ) och för varje $1\neq g\in F_{n}$ har man:

$\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{\|\varphi ^{k}(g)\|_{X}}}=\lambda .$

Dessutom är $\lambda =\lambda (\varphi )$ lika med Perron–Frobenius-egenvärdet för övergångsmatrisen för ett tågspår som är representativt för $\varphi$ .

• Till skillnad från sträckfaktorer av pseudo-Anosov ythomeomorfismer kan det hända att man för en helt irreducerbar $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ har $\lambda (\varphi )\neq \lambda (\varphi ^{-1})$ och detta beteende tros vara generiskt. Handel och Mosher visade dock att det för varje $n\geq 2$ finns en ändlig konstant $0<C_{n}<\infty$ så att för varje helt irreducerbar $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$

${\frac {\log \lambda (\varphi )}{\log \lambda (\varphi ^{-1})}}\leq C_{n}.$

• En helt irreducerbar $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ är icke-atoroidal , det vill säga har en periodisk konjugationsklass av ett icke-trivialt element av $F_{n}$ , om och endast om $\varphi$ induceras av en pseudo-anosov-homeomorfism av en kompakt sammankopplad yta med en gränskomponent och med grundgruppen isomorf till $F_ {n}$ .
• Ett helt irreducerbart element $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ har exakt två fixpunkter i Thurston-komprimeringen ${\overline {CV}}_{n}$ av det projektiviserade yttre rymden $CV_{n}$ , och $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{ n})$ verkar på ${\overline {CV}}_{n}$ med ``Nord-Syd"-dynamik
• För ett helt irreducerbart element ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})} ,$ dess fixpunkter i ${\overline {CV} }_{n}$ är projektiviserade $\mathbb {R}$ -träd $[T_{+}(\varphi )],[ T_{-}(\varphi )]$ , där $T_{+}(\varphi ),T_{-}(\varphi )\in {\overline {cv}}_{n}$ , som uppfyller egenskapen att $T_{+}(\varphi )\varphi =\lambda ( \varphi )T_{+}(\varphi )$ och $T_{-}(\varphi )\varphi ^{-1 }=\lambda (\varphi ^{-1})T_{-}(\varphi )$ .
• Ett helt irreducerbart element $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ verkar på rummet av projektiviserade geodetiska strömmar ${\ displaystyle \mathbb {P} Curr(F_{n})}$ med antingen ``North-South" eller ``generalized North-South"-dynamik, beroende på om $\varphi$ är atoroidal eller icke-atoroidal.
• Om $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ är helt irreducerbar, då är kommensuratorn $Comm(\langle \varphi \rangle )\leq \operatörsnamn {Out} (F_{n})$ är praktiskt taget cyklisk. I synnerhet är centraliseraren och normaliseraren för $\langle \varphi \rangle$ i $\operatorname {Out} (F_{n})$ praktiskt taget cykliska.
• Om $\varphi ,\psi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ är oberoende helt irreducibles, då $[T_{\pm }(\varphi )],[T_{\pm }(\psi )]\i {\overline {CV}}_{n}$ är fyra distinkta punkter, och det finns $M\geq 1$ så att för varje $p,q\geq M$ undergruppen ${\displaystyle \langle \varphi ^{p},\psi ^{q}\rangle \leq \operatörsnamn {Out} (F_{n})} är isomorf till F 2 {\$ displaystyle $}$ .
• Om $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ är helt irreducerbar och $\varphi \in H \leq \operatorname {Out} (F_{n})$ , då är antingen $H$ praktiskt taget cyklisk eller så innehåller $H$ en undergrupp som är isomorf till $F_{2}$ . [Detta uttalande ger en stark form av bröstalternativet för undergrupper av $\operatorname {Out} (F_{n})$ som innehåller helt irreducibles.]
• Om $H\leq \operatorname {Out} (F_{n})$ är en godtycklig undergrupp, så innehåller antingen $H$ ett helt irreducerbart element, eller så finns det en finit index undergrupp $H_{0}\leq H$ och en korrekt fri faktor $A$ av $F_{n}$ så att ${ \displaystyle H_{0}[A]=[A]}$ .
• Ett element $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ fungerar som en loxodromisk isometri på det fria faktorkomplexet ${\mathcal {FF }}_{n}$ om och endast om $\varphi$ är helt irreducerbar.
• Det är känt att "slumpmässiga" (i betydelsen slumpmässiga promenader) element i $\operatorname {Out} (F_{n})$ är helt irreducerbara. Mer exakt, om ${\ displaystyle \mu }$ är ett mått på $\operatorname {Out} (F_{n})$ vars stöd genererar en halvgrupp i $\operatorname {Out} ( F_{n})$ som innehåller två oberoende helt irreducibles. Sedan för den slumpmässiga promenaden av längden $k$ på $\operatorname {Out} (F_{n})$ bestäms av $\mu$ , sannolikheten att vi får ett helt irreducerbart element konvergerar till 1 som $k\to \infty$ .
• Ett helt irreducerbart element $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ tillåter en (i allmänhet icke-unik) periodisk axel i det volym-ett normaliserade yttre rymden $X_{n}$ , som är geodetisk med avseende på den asymmetriska Lipschitz-metriken på $X_{n}$ och har starka egenskaper av "kontraktion"-typ. Ett relaterat objekt, definierat för en atoroidal helt irreducible ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})} , är$ axelbunten A $\displaystyle A_{\varphi }\subseteq X_ {n}}$ , vilket är en viss $\varphi$ -invariant sluten delmängd egen homotopi som motsvarar en linje.

Vidare läsning

• Thierry Coulbois och Arnaud Hilion, Botany of irreducible automorphisms of free groups , Pacific Journal of Mathematics 256 (2012), 291–307.
• Karen Vogtmann, Om rymdens geometri . Bulletin of the American Mathematical Society 52 (2015), nr. 1, 27–46.