Inre modellteori

I mängdteori är inre modellteori studiet av vissa modeller av ZFC eller något fragment eller förstärkning därav. Vanligtvis är dessa modeller transitiva delmängder eller underklasser av von Neumanns universum V , eller ibland av en generisk förlängning av V . Inre modellteori studerar sambanden mellan dessa modeller och beslutsamhet , stora kardinaler och deskriptiv mängdteori . Trots namnet anses det mer vara en gren av mängdlära än modellteorin .

Exempel

Klassen av alla set är en inre modell som innehåller alla andra inre modeller .
Det första icke-triviala exemplet på en inre modell var det konstruerbara universum L utvecklat av Kurt Gödel . Varje modell M av ZF har en inre modell LM som uppfyller axiomet för konstruktionsbarhet, och detta kommer att vara den minsta inre modellen av M som innehåller ^alla ordningstal för M. Oavsett egenskaperna hos den ursprungliga modellen kommer LM att uppfylla den generaliserade kontinuumhypotesen och kombinatoriska axiom som diamantprincipen ◊ ^.
HOD, klassen av uppsättningar som är ärftligt ordinaldefinierbara , bildar en inre modell som uppfyller ZFC.
Mängderna som är ärftligt definierbara över en räknebar ordningsföljd bildar en inre modell, som används i Solovays sats .
L(R) , den minsta inre modellen som innehåller alla reella tal och alla ordinaler.
L[U], klassen konstruerad relativt en normal, icke-principal, $\kappa$ -komplett ultrafilter U över en ordinal $\kappa$ (se nolldolk ).

Konsistensresultat

En viktig användning av inre modeller är beviset på konsistensresultat. Om det kan visas att varje modell av ett axiom A har en inre modell som uppfyller axiom B , då om A är konsekvent måste B också vara konsekvent. Denna analys är mest användbar när A är ett axiom oberoende av ZFC, till exempel ett stort kardinalaxiom ; det är ett av verktygen som används för att rangordna axiom efter konsistensstyrka .

Jech, Thomas (2003), Set Theory , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag
Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-00384-7

Se även