Styvhetsmatris

I den finita elementmetoden för den numeriska lösningen av elliptiska partiella differentialekvationer är styvhetsmatrisen en matris som representerar systemet av linjära ekvationer som måste lösas för att fastställa en ungefärlig lösning till differentialekvationen .

Styvhetsmatrisen för Poisson-problemet

För enkelhetens skull kommer vi först att överväga Poisson-problemet

-\nabla ^{2}u=f

på någon domän $Ω$ , med förbehåll för gränsvillkoret $u = 0$ på gränsen för $Ω$ . För att diskretisera denna ekvation med finita elementmetoden väljer man en uppsättning basfunktioner ${φ 1, \dots, φ n}$ definierade på $Ω$ som också försvinner på gränsen. Man närmar sig då

u\approx u^{h}=u_{1}\varphi _{1}+\cdots +u_{n}\varphi _{n}.

Koefficienterna $u 1, u 2, \dots, u n$ bestäms så att felet i approximationen är ortogonalt mot varje basfunktion $φ i$ :

\int _{x\in \Omega }\varphi _{i}\cdot f\,dx=-\int _{x\in \Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}u ^{h}\,dx=-\summa _{j}\left(\int _{x\in \Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}\varphi _{j}\,dx\ höger)\,u_{j}=\summa _{j}\left(\int _{x\in \Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx\ höger)u_{j}.

Styvhetsmatrisen är $n$ - elementets kvadratiska matris $A$ definierad av

\mathbf {A} _{ij}=\int _{x\in \Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.

Genom att definiera vektorn $F$ med komponenterna ${\textstyle \mathbf {F} _{i}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx,}$ koefficienterna $u i$ bestäms av det linjära systemet $Au = F$ . Styvhetsmatrisen är symmetrisk , dvs $A ij = A ji$ , så alla dess egenvärden är reella. Dessutom är det en strikt positiv-definierad matris , så att systemet $Au = F$ alltid har en unik lösning. (För andra problem kommer dessa fina egenskaper att gå förlorade.)

Observera att styvhetsmatrisen kommer att vara olika beroende på vilket beräkningsrutnät som används för domänen och vilken typ av finita element som används. Till exempel kommer styvhetsmatrisen när bitvis kvadratiska finita element används att ha fler frihetsgrader än bitvis linjära element.

Styvhetsmatrisen för andra problem

Att bestämma styvhetsmatrisen för andra PDE:er följer i huvudsak samma procedur, men det kan kompliceras av valet av randvillkor. Som ett mer komplext exempel, betrakta den elliptiska ekvationen

-\summa _{k,l}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\ vänster(a^{kl}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}\right)=f

där $\mathbf {A} (x)=a^{kl}(x)$ är en positiv-definitiv matris definierad för varje punkt $x$ i domänen. Vi ålägger Robin gränsvillkor

-\sum _{k,l}\nu _{k}a^{kl}{\frac { \partial u}{\partial x_{l}}}=c(ug),

där $ν k$ är komponenten av enhetens utåtnormalvektor ν $i$ k $-$ :te riktningen. Systemet som ska lösas är

\sum _{j}\left(\sum _{k,l}\int _{\Omega }a^{kl}{\frac {\partial \varphi _ {i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial x_{l}}}dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{ i}\varphi _{j}\,ds\right)u_{j}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{ i}g\,ds,

som kan visas med en analog av Greens identitet . Koefficienterna $u i$ hittas fortfarande genom att lösa ett system av linjära ekvationer, men matrisen som representerar systemet skiljer sig markant från den för det vanliga Poisson-problemet.

I allmänhet, till varje skalär elliptisk operator $L$ av storleksordningen $2 k$ , är det associerat en bilinjär form $B$ på Sobolev-utrymmet $H k$ , så att den svaga formuleringen av ekvationen $Lu = f$ är

B[u,v]=(f,v)

för alla funktioner $v$ i $H k$ . Då är styvhetsmatrisen för detta problem

\mathbf {A} _{ij}=B[\varphi _{j},\varphi _{i}].

Praktisk montering av styvhetsmatrisen

För att implementera finita elementmetoden på en dator måste man först välja en uppsättning basfunktioner och sedan beräkna integralerna som definierar styvhetsmatrisen. Vanligtvis diskretiseras domänen $Ω$ av någon form av mesh-generering , där den är uppdelad i icke-överlappande trianglar eller fyrhörningar , som vanligtvis kallas element. Basfunktionerna väljs sedan ut att vara polynom av någon ordning inom varje element, och kontinuerliga över elementgränserna. De enklaste valen är bitvis linjära för triangulära element och bitvis bilinjära för rektangulära element.

Elementstyvhetsmatrisen $A [k]$ för element $T k$ är matrisen

\mathbf {A} _{ij}^{[k]}=\int _{T_{k}}\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.

Elementstyvhetsmatrisen är noll för de flesta värden på $i$ och $j$ $Tk,$ för vilka motsvarande basfunktioner är noll inom . Fullstyvhetsmatrisen $A$ är summan av elementstyvhetsmatriserna. I synnerhet för basfunktioner som endast stöds lokalt är styvhetsmatrisen sparsam .

För många standardval av basfunktioner, dvs styckvis linjära basfunktioner på trianglar, finns enkla formler för elementstyvhetsmatriserna. Till exempel, för bitvis linjära element, betrakta en triangel med hörn $(x 1, y 1)$ , $(x 2, y 2)$ , $(x 3, y 3)$ , och definiera 2×3-matrisen

\mathbf {D} =\left[{\begin{matrix}x_{3}-x_{2}&x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{1}\\y_{3 }-y_{2}&y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{1}\end{matrix}}\right].

Då är elementets styvhetsmatris

\mathbf {A} ^{[k]}={\frac {\mathbf {D} ^{\mathsf {T}}\mathbf {D} }{4\operatörsnamn {area} (T)}} .

När differentialekvationen är mer komplicerad, säg genom att ha en inhomogen diffusionskoefficient, kan integralen som definierar elementstyvhetsmatrisen utvärderas med Gaussisk kvadratur .

Tillståndsnumret för styvhetsmatrisen beror starkt på kvaliteten på det numeriska rutnätet . I synnerhet inducerar trianglar med små vinklar i det finita elementnätet stora egenvärden för styvhetsmatrisen, vilket försämrar lösningskvaliteten.

Ern, A.; Guermond, J.-L. (2004), Theory and Practice of Finite Elements , New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0387205748
Gockenbach, MS (2006), Understanding and Implementing the Finite Element Method , Philadelphia, PA: SIAM, ISBN 0898716144
Grossmann, C.; Roos, H.-G.; Stynes, M. (2007), Numerical Treatment of Partial Differential Equations , Berlin, Tyskland: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-71584-9
Johnson, C. (2009), Numemerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method , Dover, ISBN 978-0486469003
Zienkiewicz, OC ; Taylor, RL; Zhu, JZ (2005), The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals (6:e upplagan), Oxford, Storbritannien: Elsevier Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0750663205