Stabilt polynom

I samband med det karakteristiska polynomet för en differentialekvation eller skillnadsekvation sägs ett polynom vara stabilt om antingen:

alla dess rötter ligger i det öppna vänstra halvplanet , eller
alla dess rötter ligger i den öppna enhetsskivan .

Det första villkoret ger stabilitet för kontinuerliga linjära system, och det andra fallet hänför sig till stabiliteten hos diskreta linjära system. Ett polynom med den första egenskapen kallas ibland ett Hurwitz-polynom och med den andra egenskapen ett Schur-polynom . Stabila polynom uppstår i kontrollteori och i matematisk teori för differential- och differensekvationer. Ett linjärt, tidsinvariant system (se LTI-systemteori ) sägs vara BIBO-stabilt om varje bounded input producerar bounded output. Ett linjärt system är BIBO-stabilt om dess karakteristiska polynom är stabilt. Nämnaren måste vara Hurwitz-stabil om systemet är i kontinuerlig tid och Schur-stabil om det är i diskret tid. I praktiken bestäms stabilitet genom att tillämpa något av flera stabilitetskriterier .

Egenskaper

Routh -Hurwitz-satsen tillhandahåller en algoritm för att bestämma om ett givet polynom är Hurwitz-stabilt, vilket implementeras i Routh-Hurwitz- och Liénard-Chipart- testerna.
För att testa om ett givet polynom P (av grad d ) är Schur-stabilt räcker det att tillämpa denna sats på det transformerade polynomet

Q(z)=(z-1)^{d}P\left({{z+1} \over { z-1}}\right)

erhållen efter Möbius-transformationen

z\mapsto {{z+1} \over {z-1}}

som mappar det vänstra halvplanet till den öppna enhetsskivan: P är Schur-stabil om och endast om Q är Hurwitz-stabil och

P(1)\neq 0

. För polynom av högre grad kan den extra beräkningen som ingår i denna mappning undvikas genom att testa Schur-stabiliteten med Schur-Cohn-testet, Jurytestet eller Bistritz -testet .

Nödvändigt villkor: ett Hurwitz stabilt polynom (med reella koefficienter ) har koefficienter med samma tecken (antingen alla positiva eller alla negativa).
Tillräckligt villkor: ett polynom $f(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{ n}$ med (verkliga) koefficienter så att

a_{n}>a_{n-1}>\cdots >a_{0}>0,

är Schur-stabil.

Produktregel: Två polynom f och g är stabila (av samma typ) om och endast om produkten fg är stabil.
Hadamard-produkt: Hadamard-produkten (koefficientmässigt) av två Hurwitz-stabila polynom är återigen Hurwitz-stabil.

Exempel

$4z^{3}+3z^{2}+2z+1$ är Schur-stabil eftersom den uppfyller det tillräckliga villkoret;
$z^{10}$ är Schur-stabil (eftersom alla dess rötter är lika med 0) men den uppfyller inte det tillräckliga villkoret;
$z^{2}-z-2$ är inte Hurwitz stabil (dess rötter är −1 och 2) eftersom den bryter mot det nödvändiga villkoret;
$z^{2}+3z+2$ är Hurwitz stabil (dess rötter är −1 och −2).
Polynomet $z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1$ (med positiva koefficienter) är varken Hurwitz stabil eller Schur stabil. Dess rötter är enhetens fyra primitiva femte rötter

z_{k}=\cos \left({{2\pi k} \over 5}\right)+i\sin \left({{2\pi k} \over 5}\right),\ ,k=1,\ldots ,4\,.

Notera här att

\cos({{2\pi }/5})={ {{\sqrt {5}}-1} \over 4}>0.

Det är ett "gränsfall" för Schur-stabilitet eftersom dess rötter ligger på enhetscirkeln. Exemplet visar också att de nödvändiga (positivitets)villkoren som anges ovan för Hurwitz stabilitet inte är tillräckliga.

Se även

externa länkar

Mathworld-sidan