Liénard–Chipart-kriteriet

I styrsystemteorin är Liénard -Chipart-kriteriet ett stabilitetskriterium modifierat från Routh-Hurwitz-stabilitetskriteriet, föreslagit av A. Liénard och MH Chipart. Detta kriterium har en beräkningsmässig fördel gentemot Routh–Hurwitz-kriteriet eftersom det bara involverar ungefär hälften av antalet determinantberäkningar .

Algoritm

– Hurwitz stabilitetskriteriet säger att ett nödvändigt och tillräckligt villkor för polynomets alla rötter med reella koefficienter

$f(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n -1}+\cdots +a_{n}\,(a_{0}>0)$

att ha negativa reella delar (dvs $f$ är Hurwitz stabil ) är det

$\Delta _{1}>0,\,\Delta _{2}>0,\ldots ,\Delta _{n}>0,$

där $\Delta _{i}$ är den i -te ledande huvudmoll i Hurwitz-matrisen associerad med $f$ .

Med samma notation som ovan är Liénard-Chipart-kriteriet att $f$ är Hurwitz-stabil om och endast om något av de fyra villkoren är uppfyllt:

1. $a_{n}>0,a_{n-2}>0,\ldots ;\,\Delta _{1}>0,\Delta _{3}>0 ,\ldots$
2. $a_{n}>0,a_{n-2}>0,\ldots ;\,\Delta _{2}>0,\Delta _{4}>0 ,\ldots$
3. $a_{n}>0,a_{n-1}>0,a_{n-3}>0,\ldots ;\,\Delta _{1}>0 ,\Delta _{3}>0,\ldots$
4. $a_{n}>0,a_{n-1}>0,a_{n-3}>0,\ldots ;\,\Delta _{2}>0 ,\Delta _{4}>0,\ldots$

Därför kan man se att genom att välja ett av dessa villkor minskar antalet determinanter som krävs för att utvärderas.

Alternativt formulerade Fuller detta på följande sätt för (noterar att $\Delta _{1}>0$ aldrig behöver kontrolleras):

$a_{n}>0,a_{1}>0,a_{3}>0,a_{5}>0,\ldots ;$

$\Delta _{n-1}>0,\Delta _{n-3}>0,\Delta _{n-5}>0,\ldots ,\{\Delta _{3}>0\ (n\ jämn)\,\Delta _{2}>0\ (n\ udda)\}.$

Detta betyder att om n är jämn, slutar den andra raden på $\Delta _{3}>0$ och om n är udda slutar den på $\Delta _{2}>0$ och så detta är bara 1. villkor för udda n och 4. villkor för jämnt n ovanifrån. Den första raden slutar alltid på $a_{n}$ , men $a_{n-1}>0$ behövs också för jämnt n.

externa länkar

• "Liénard–Chipart-kriterium" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]