Stöd för en modul

I kommutativ algebra är stödet för en modul M över en kommutativ ring A mängden av alla primideal ${\mathfrak {p}}$ av A så att $M_{\mathfrak {p }}\neq 0$ (det vill säga lokaliseringen av M vid ${\mathfrak {p}}$ är inte lika med noll). Det betecknas med $\operatorname {Supp} M$ . Stödet är per definition en delmängd av spektrumet av A .

Egenskaper

$M=0$ om och endast om dess stöd är tomt .
Låt $0\to M'\to M\to M''\to 0$ vara en kort exakt följd av A -moduler. Då
$\operatörsnamn {Supp} M=\operatörsnamn {Supp} M'\cup \operatörsnamn {Supp} M''.$

Observera att detta förbund kanske inte är ett osammanhängande förbund .

Om $M$ är summan av undermodulerna $M_{\lambda }$ , då $\operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatörsnamn {Supp} M_{\lambda }.$
Om $M$ är en ändligt genererad A -modul, då är $\operatorname {Supp} M$ uppsättningen av alla primideal som innehåller förintelsen av M . I synnerhet är den stängd i Zariski-topologin på Spec A.
Om $M,N$ är ändligt genererade A -moduler, då
$\operatörsnamn {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatörsnamn {Supp} M\cap \operatörsnamn {Supp} N.$
Om $M$ är en ändligt genererad A -modul och I är ett ideal för A , då är $\operatorname {Supp} (M/IM)$ mängden av alla främsta ideal som innehåller $I+\operatörsnamn {Ann} M.$ Detta är $V(I)\cap \operatorname {Supp} M$ .

Stöd av en kvasikoherent kärve

Om F är en kvasikoherent bunt på ett schema X , är stödet för F mängden av alla punkter x i X så att stjälken F _x inte är noll. Denna definition liknar definitionen av stöd för en funktion på ett mellanslag X , och detta är motiveringen för att använda ordet "stöd". De flesta egenskaperna hos stödet generaliserar från moduler till kvasikoherenta skivor ord för ord. Till exempel är stödet för en koherent bunt (eller mer allmänt, en ändlig bunt) ett slutet delrum av X .

Om M är en modul över en ring A , så sammanfaller stödet av M som en modul med stödet av den tillhörande kvasikoherenta bunten ${\tilde {M}}$ på det affina schemat Spec A . Dessutom, om $\{U_{\alpha }=\operatörsnamn {Spec} (A_{\alpha })\}$ är en affin täckning av ett schema X , då stödet för en kvasikoherent remsa F är lika med föreningen av stöd för de associerade modulerna M _α över varje A _α .

Exempel

Som nämnts ovan finns ett primideal ${\mathfrak {p}}$ i stödet om och endast om det innehåller annihilatorn av $M$ . Till exempel, över ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]} ,$ förintaren av modulen

M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x, y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}

är det ideala $I=(f)=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+ w^{4})$ . Detta innebär att ${\displaystyle \operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I)} ,$ det försvinnande lokuset för polynomet f . Tittar på den korta exakta sekvensen

0\to I\to R\to R/I\to 0

vi kan felaktigt anta att stödet för I = ( f ) är Spec( R _{( f )} ), vilket är komplementet till det försvinnande lokuset för polynomet f . Faktum är att eftersom R är en integral domän , är den ideala I = ( f ) = Rf isomorf till R som en modul, så dess stöd är hela utrymmet: Supp( I ) = Spec( R ).

Stödet för en finit modul över en Noetherian ring är alltid stängd under specialisering. ^{[ citat behövs ]}

Om vi nu tar två polynom $f_{1},f_{2}\in R$ i en integral domän som bildar ett komplett skärningsideal $(f_{1},f_{2})$ visar tensoregenskapen oss det

\operatörsnamn {Supp} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2})\right)=\,\operatörsnamn {Supp} \left(R/( f_{1})\right)\cap \,\operatörsnamn {Supp} \left(R/(f_{2})\right)\cong \,\operatörsnamn {Spec} (R/(f_{1},f_ {2})).

Se även

Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007/bf02684778 . MR 0217083 .
Atiyah, MF och IG Macdonald , Introduction to Commutative Algebra , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 MR 242802