Associerad prime

Denna artikel berör främst associerade primtal i allmän ringteori. För den specifika användningen i kommutativ ringteori, se även Primär nedbrytning § Primär nedbrytning från associerade primtal .

I abstrakt algebra är ett associerat primtal av en modul M över en ring R en typ av primtal ideal av R som uppstår som en förintare av en (primtal) submodul av M . Uppsättningen av associerade primtal betecknas vanligtvis med $\operatorname {Ass} _{R}(M),$ och kallas ibland mördaren eller mördaren av M (ordspel mellan notationen och faktum att ett associerat primtal är en förintare ).

I kommutativ algebra kopplas associerade primtal till Lasker-Noether primära nedbrytning av ideal i kommutativa Noetherian ringar . Specifikt, om ett ideal J bryts ned som en finit skärningspunkt av $\operatorname {Ass} _{R}(R/J).$ , är radikalerna dessa primärideal primärideal , och denna uppsättning av primärideal sammanfaller med / Också kopplade till begreppet "associerade primtal" av idealet är begreppen isolerade primtal och inbäddade primtal .

Definitioner

En R -modul N som inte är noll kallas en primmodul om annihilatorn $\mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')\,$ för vilken som helst icke-noll undermodul N' av N . För en primmodul N är $\mathrm {Ann} _{R}(N)\,$ ett primtal ideal i R .

Ett associerat primtal för en R- modul M är ett ideal av formen $\mathrm {Ann} _{R}(N)\,$ där N är en primtalssubmodul till M . I kommutativ algebra är den vanliga definitionen annorlunda, men ekvivalent: om R är kommutativ är ett associerat primtal P av M ett primideal av formen $\mathrm {Ann} _{R}( m)\,$ för ett element som inte är noll m av M eller ekvivalent $R/P$ är isomorft till en submodul av M .

I en kommutativ ring R kallas minimala element i $\operatorname {Ass} _{R}(M)$ (med avseende på den mängdteoretiska inkluderingen) isolerade primtal medan resten av associerade primtal (dvs de som korrekt innehåller associerade primtal) kallas inbäddade primtal .

En modul kallas coprimär om xm = 0 för något icke-noll m ∈ M antyder x ⁿ M = 0 för något positivt heltal n . En ändligt genererad modul M som inte är noll över en kommutativ Noether-ring är coprimär om och endast om den har exakt ett associerat primtal. En submodul N av M kallas P -primär om $M/N$ är coprimär med P . Ett ideal I är ett P - primärt ideal om och endast om $\operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P\}$ ; sålunda är begreppet en generalisering av ett primärideal.

Egenskaper

De flesta av dessa egenskaper och påståenden ges i ( Lam 1999 ) med början på sidan 86.

• Om M' ⊆ M , då ${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(M')\subseteq \mathrm {Ass} _{R}(M).} Om$ M' dessutom är en väsentlig delmodul till M , sammanfaller deras associerade primtal.
• Det är möjligt, även för en kommutativ lokal ring, att uppsättningen av associerade primtal för en ändligt genererad modul är tom. Men i vilken ring som helst som uppfyller de stigande kedjevillkoren på ideal (till exempel vilken höger eller vänster Noetherian ring som helst) har varje modul som inte är noll minst ett associerat primtal.
• Varje enhetlig modul har antingen noll eller ett associerat primtal, vilket gör enhetliga moduler till ett exempel på samprimära moduler.
• För en ensidig Noetherian ring finns det en surjektion från uppsättningen av isomorfismklasser av oupplösliga injektionsmoduler på spektrumet $\mathrm {Spec} (R).$ Om R är en artinisk ring , blir denna karta en bijektion.
• Matlis' sats : För en kommutativ Noeterisk ring R är kartan från isomorfismklasserna av oupplösliga injektionsmoduler till spektrumet en bijektion. Dessutom ges en komplett uppsättning representanter för dessa klasser av $E(R/{\mathfrak {p}})\,$ där $E(-)\ ,$ betecknar det injektiva skrovet och ${\mathfrak {p}}\,$ sträcker sig över de primära idealen för R .
• För en noeterisk modul M över valfri ring finns det bara ändligt många associerade primtal av M .

För fallet för kommutativa noeteriska ringar, se även Primär nedbrytning#Primär nedbrytning från associerade primtal .

Exempel

• Om $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ de associerade primidealen för $I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))$ är idealen $(x^{2}+y^{ 2}+z^{2}+w^{2})$ och $(z^{3}-w^{3}-3x^{3}).$
• Om R är ringen av heltal, så är icke-triviala fria abelska grupper och icke-triviala abelska grupper med primtalsordning coprimära.
• Om R är ringen av heltal och M en ändlig abelisk grupp, så är de associerade primtalen för M exakt de primtal som delar ordningen av M .
• Gruppen av ordning 2 är en kvot av heltalen Z (betraktad som en fri modul över sig själv), men dess associerade primtal (2) är inte ett associerat primtal av Z .

Anteckningar

• Bourbaki, Algèbre kommutativ
•    Eisenbud, David (1995), Kommutativ algebra , Graduate Texts in Mathematics , vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1 , MR 1322960
•    Lam, Tsit-Yuen (1999), Föreläsningar om moduler och ringar , Graduate Texts in Mathematics nr. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , MR 1653294
• Matsumura, Hideyuki (1970), Kommutativ algebra