Spinor sfäriska övertoner

Inom kvantmekaniken är spinorsfäriska övertoner (även kända som sfäriska spinorövertoner , spinorövertoner och Paulispinorer ) speciella funktioner som definieras över sfären. De sfäriska spinorövertonerna är den naturliga spinoranalogen av de sfäriska vektorövertonerna . Medan de vanliga sfäriska övertonerna är en grund för rörelsemängdsoperatorn , är de sfäriska övertonerna i spinorn en grund för den totala rörelsemängdsoperatorn (momentum plus spin ). Dessa funktioner används i analytiska lösningar till Dirac-ekvationen i en radiell potential . Spinor sfäriska övertoner kallas ibland Pauli centrala fältspinorer , för att hedra Wolfgang Pauli som använde dem i lösningen av väteatomen med spin -omloppsinteraktion .

Egenskaper

Spinorsfäriska övertoner $Yl, s, j, m$ är spinors egentillstånd för den totala rörelsemängdsoperatorn i kvadrat:

{\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=j (j+1)Y_{l,s,j,m}\\\mathrm {j} _{\mathrm {z} }Y_{l,s,j,m}&=mY_{l,s,j, m}\;;\;m=-j,-(j-1),\cdots ,j-1,j\\\mathbf {l} ^{2}Y_{l,s,j,m}&= l(l+1)Y_{l,s,j,m}\\\mathbf {s} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=s(s+1)Y_{l,s ,j,m}\end{aligned}}

där $j = l + s$ , där $j$ , $l$ och $s$ är de (dimensionslösa) totala, orbital- och spinnvinkelmomentoperatorerna, j är det totala azimutala kvanttalet och m är det totala magnetiska kvanttalet .

Under en paritetsoperation har vi

PY_{l,sj,m}=(-1)^{l}Y_{l,s,j,m}.

För spin-½- system ges de i matrisform av

Y_{j\pm {\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},j,m}={\frac {1}{\sqrt {2{\bigl ( }j\mp {\frac {1}{2}}{\bigr )}+1}}}{\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {j\mp {\frac {1}{2}}\ pm m+{\frac {1}{2}}}}Y_{j\pm {\frac {1}{2}}}^{m-{\frac {1}{2}}}\\{\sqrt {j\mp {\frac {1}{2}}\mp m+{\frac {1}{2}}}}Y_{j\pm {\frac {1}{2}}}^{m+{\ frac {1}{2}}}\end{pmatrix}}.

där $Y_{l}^{m}$ är de vanliga sfäriska övertonerna .