Definitionsområde

Inom matematiken är definitionsfältet för en algebraisk variation V i huvudsak det minsta fältet till vilket koefficienterna för polynomen som definierar V kan tillhöra. Givet polynom, med koefficienter i ett fält K , kanske det inte är uppenbart om det finns ett mindre fält k , och andra polynom definierade över k , som fortfarande definierar V .

Frågan om definitionsfält är oroande inom diofantin geometri .

Notation

Genomgående i denna artikel betecknar k ett fält. Den algebraiska stängningen av ett fält betecknas genom att lägga till en överskrift av "alg", t.ex. är den algebraiska stängningen av k k ^alg . Symbolerna Q , R , C och F _p representerar respektive fältet för rationella tal , fältet för reella tal , fältet för komplexa tal och det finita fältet som innehåller p element. Affint n mellanrum - över ett fält F betecknas med An ⁽ F ).

Definitioner för affina och projektiva varieteter

Resultat och definitioner som anges nedan, för affina varianter , kan översättas till projektiva varieteter , genom att ersätta A ⁿ ( k ^alg ) med projektivt utrymme av dimensionen n −1 över k ^alg , och genom att insistera på att alla polynom är homogena .

En k - algebraisk mängd är nollpunkten i A ⁿ ( k ^alg ) av en delmängd av polynomringen k [ x ₁ , ..., x _n ]. En k -varietet är en k -algebraisk mängd som är irreducerbar, dvs inte är föreningen av två strikt mindre k -algebraiska mängder. En k -morfism är en regelbunden funktion mellan k -algebraiska mängder vars definierande polynoms koefficienter tillhör k .

^Ett skäl till att betrakta nollpunkten i An ( k ^alg ) och inte An ( k ) ^{är att} , för två distinkta k -algebraiska mängder X ₁ och X ₂ , skärningspunkterna X ₁ ^∩ An ( k ) och X ₂ ∩ A ⁿ ( k ) kan vara identisk; i själva verket är nollpunkten i A ⁿ ( k ) för varje delmängd av k [ x ₁ , ..., x _n ] nollpunkten för ett enda element av k [ x ₁ , ..., x _{n ]} ] om k inte är algebraiskt stängd.

En k -varietet kallas en varietet om den är absolut irreducerbar , dvs inte är föreningen av två strikt mindre k ^alg -algebraiska uppsättningar. En variation V definieras över k om varje polynom i k ^alg [ x ₁ , ..., x _n ] som försvinner på V är den linjära kombinationen (över k ^alg ) av polynom i k [ x ₁ , ..., x _n ] som försvinner på V . En k- algebraisk mängd är också en L -algebraisk mängd för oändligt många delfält L av k ^alg . Ett definitionsfält för en sort V är ett underfält L av k ^alg så att V är en L - varietet definierad över L.

På motsvarande sätt är en k -varietet V en variation definierad över k om och endast om funktionsfältet k ( V ) av V är en regelbunden förlängning av k , i betydelsen Weil . Det betyder att varje delmängd av k ( V ) som är linjärt oberoende över k också är linjärt oberoende över k ^alg . Med andra ord är dessa förlängningar av k linjärt disjunkta .

André Weil bevisade att skärningspunkten mellan alla definitionsfält för en sort V i sig är ett definitionsfält. Detta motiverar att säga att varje sort har ett unikt, minimalt definitionsområde.

Exempel

1. Nollpunkten för x ₁ ² + x ₂ ² är både en Q -varietet och en Q ^alg -algebraisk mängd men varken en varietet eller en Q ^alg -varietet, eftersom det är föreningen av Q ^alg -varieteterna som definieras av polynom x ₁ + i x ₂ och x ₁ - i x ₂ .
2. Med F _p ( t ) en transcendental förlängning av F _p , är polynomet x ₁ ^p - t lika med ( x ₁ - t ^{1/ p} ) ^p i polynomringen ( F _p ( t )) ^alg [ x ₁ ]. Den Fp ( t )-algebraiska mängden V definierad av x ₁ ^p - t är en varietet _; den är absolut irreducerbar eftersom den består av en enda punkt. Men V definieras inte över F _p ( t ), eftersom V också är nollpunkten för x ₁ - t ^{1/ p} .
3. Den komplexa projektiva linjen är en projektiv R -varietet. (I själva verket är det en varietet med Q som dess minimala definitionsfält.) Om man ser den verkliga projektiva linjen som ekvatorn på Riemanns sfär, byter den koordinatmässiga verkan av komplex konjugation på den komplexa projektiva linjen punkter med samma longitud men motsatta breddgrader.
4. Den projektiva R -varianten W som definieras av det homogena polynomet x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² är också en varietet med minimalt definitionsfält Q . Följande karta definierar en C -isomorfism från den komplexa projektiva linjen till W : ( a , b ) → (2 ab , a ² - b ² , -i( a ² + b ² )). Genom att identifiera W med Riemann-sfären med hjälp av denna karta, byter den koordinatmässiga verkan av komplex konjugation på W motsatta punkter av sfären. Den komplexa projektiva linjen kan inte vara R -isomorf till W eftersom den förra har reella punkter , punkter fixerade genom komplex konjugering, medan den senare inte har det.

Schemateoretiska definitioner

En fördel med att definiera varianter över godtyckliga fält genom teorin om scheman är att sådana definitioner är inneboende och fria från inbäddningar i omgivande affint n -utrymme.

En k- algebraisk mängd är ett separerat och reducerat schema av finit typ över Spec( k ) . En k -varietet är en irreducerbar k -algebraisk mängd. En k -morfism är en morfism mellan k -algebraiska mängder som betraktas som scheman över Spec( k ).

För varje algebraisk förlängning L av k är den L -algebraiska mängden associerad med en given k -algebraisk mängd V fiberprodukten av scheman V × _{Spec( k )} Spec( L ). En k -varietet är absolut irreducerbar om den associerade k ^alg -algebraiska mängden är ett irreducerbart schema; i det här fallet kallas k -varianten en sort . En absolut irreducerbar k -varietet definieras över k om den associerade k ^alg -algebraiska mängden är ett reducerat schema. Ett definitionsfält för en sort V är ett underfält L av k ^alg så att det finns en k ∩ L -varietet W så att W × _{Spec( k ∩ L )} Spec( k ) är isomorft till V och det slutliga objektet i kategori av reducerade scheman över W × _{Spec( k ∩ L )} Spec( L ) är en L -variant definierad över L .

Analogt med definitionerna för affina och projektiva varieteter, är en k -varietet en sort definierad över k om stjälken på strukturkärven vid den generiska punkten är en regelbunden förlängning av k ; dessutom har varje sort ett minimalt definitionsområde.

En nackdel med den schemateoretiska definitionen är att ett schema över k inte kan ha en L -värderad punkt om L inte är en förlängning av k . Till exempel är den rationella punkten (1,1,1) en lösning till ekvationen x ₁ + i x ₂ - (1+i) x ₃ men motsvarande Q [i]-variant V har ingen Spec( Q )- värderad poäng. De två definitionerna av definitionsfält är också diskrepanta, t.ex. det (schemateoretiska) minimala definitionsfältet för V är Q , medan det i den första definitionen skulle ha varit Q [i]. Anledningen till denna diskrepans är att de schemateoretiska definitionerna endast håller reda på polynomet som är inställt för att ändra grund . I det här exemplet är ett sätt att undvika dessa problem att använda Q -variety Spec( Q [ x ₁ , x ₂ , x ₃ ]/( x ₁ ² + x ₂ ² + 2 x ₃ ² - 2 x ₁ x ₃ - 2 x ₂ x ₃ )), vars associerade Q [i]-algebraiska mängd är föreningen av Q [i]-varianten Spec( Q [i][ x ₁ , x ₂ , x ₃ ]/( x ₁ + i x ₂ - (1+i) x ₃ )) och dess komplexa konjugat.

Action av den absoluta Galois-gruppen

Den absoluta Galois-gruppen Gal( k ^alg / k ) av k verkar naturligt på nollpunkten i A ⁿ ( k ^alg ) av en delmängd av polynomringen k [ x ₁ , ..., x _n ]. I allmänhet, om V är ett schema över k (t.ex. en k -algebraisk mängd), verkar Gal( k ^alg / k ) naturligt på V × _{Spec( k )} Spec( k ^alg ) via sin verkan på Spec( k ^alg ).

När V är en variation definierad över ett perfekt fält k , kan schemat V återvinnas från schemat V × _{Spec( k )} Spec( k ^alg ) tillsammans med verkan av Gal( k ^alg / k ) på det senare schemat: sektioner av strukturskivan för V på en öppen delmängd U är exakt sektionerna av strukturskivan för V × _{Spec( k )} Spec( k ^alg ) på U × _{Spec( k )} Spec( k ^alg ) vars rester är konstanta på varje Gal( k ^alg / k )- bana i U × _{Spec( k )} Spec( k ^alg ). I det affina fallet betyder detta att den absoluta Galois-gruppens verkan på nollpunkten är tillräcklig för att återvinna delmängden k [ x ₁ , ..., x _n ] som består av försvinnande polynom.

I allmänhet är denna information inte tillräcklig för att återställa V . I exemplet med nollpunkten för x ₁ ^p - t i ( F _p ( t )) ^alg , består varieteten av en enda punkt och därför kan verkan av den absoluta Galois-gruppen inte särskilja om idealet för försvinnande polynom genererades med x ₁ - t ^{1/ p} , med x ₁ ^p - t , eller faktiskt med x ₁ - t ^{1/ p} upphöjd till någon annan potens av p .

För varje delfält L av k ^alg och vilken L -varietet V som helst, kommer en automorfism σ av k ^{alg att mappa} V isomorft på en σ( L )-varietet.

Vidare läsning

•   Fried, Michael D.; Moshe Jarden (2005). Fältarithmetik . Springer . sid. 780. doi : 10.1007/b138352 . ISBN 3-540-22811-X .
  • Terminologin i den här artikeln matchar terminologin i texten till Fried och Jarden, som antar Weils nomenklatur för sorter. Den andra utgåvans referens här innehåller också ett underavsnitt som tillhandahåller en ordbok mellan denna nomenklatur och den mer moderna av scheman.
•   Kunz, Ernst (1985). Introduktion till kommutativ algebra och algebraisk geometri . Birkhäuser. sid. 256. ISBN 0-8176-3065-1 .
  • Kunz behandlar strikt affina och projektiva sorter och scheman men täcker till viss del förhållandet mellan Weils definitioner för sorter och Grothendiecks definitioner för scheman.
•   Mumford, David (1999). Den röda boken av sorter och scheman . Springer . s. 198–203. doi : 10.1007/b62130 . ISBN 3-540-63293-X .
  • Mumford ägnar bara en del av boken åt aritmetiska frågor som definitionsområdet, men i den täcker den i sin helhet många schemateoretiska resultat som anges i denna artikel.