Weyls ojämlikhet

Den här artikeln handlar om Weyls ojämlikhet i linjär algebra. För Weyls ojämlikhet i talteori, se Weyls ojämlikhet (talteori) .

I linjär algebra är Weyls ojämlikhet en sats om förändringarna av egenvärden för en hermitisk matris som är störd . Den kan användas för att uppskatta egenvärdena för en störd hermitisk matris.

Weyls ojämlikhet om störning

Låt $M=N+R,\,N,$ och $R$ vara n × n hermitiska matriser, med sina respektive egenvärden ${ \displaystyle \mu _{i},\,\nu _{i},\,\rho _{i}}$ ordnade enligt följande:

$M:\quad \mu _{1}\geq \cdots \geq \mu _{n},$

$N:\quad \nu _{1}\geq \cdots \geq \nu _{n},$

$R:\quad \rho _{1}\geq \cdots \geq \rho _{n}.$

Då gäller följande ojämlikheter:

$\nu _{i}+\rho _{n}\leq \mu _{i}\leq \ nu _{i}+\rho _{1},\quad i=1,\dots ,n,$

och mer allmänt,

$\nu _{j}+\rho _{k}\leq \mu _ {i}\leq \nu _{r}+\rho _{s},\quad j+kn\geq i\geq r+s-1.$

Speciellt, om $R$ är positiv definitivt, leder pluggning av $\rho _{n}>0$ till ovanstående olikheter till

$\mu _{i}>\nu _{i}\quad \forall i=1,\dots ,n.$

Observera att dessa egenvärden kan ordnas, eftersom de är reella (som egenvärden för hermitiska matriser).

Weyls olikhet mellan egenvärden och singularvärden

Låt $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ha singulära värden $\sigma _{ 1}(A)\geq \cdots \geq \sigma _{n}(A)\geq 0$ och egenvärden ordnade så att $|\lambda _{1}(A)|\geq \cdots \geq |\lambda _{n}(A)|$ . Sedan

$|\lambda _{1}(A)\cdots \lambda _{k}(A)|\leq \sigma _{1}(A)\cdots \sigma _{k}(A)$

För $k=1,\ldots ,n$ , med likhet för $k=n$ .

Ansökningar

Uppskattning av störningar i spektrumet

Antag att $R$ är liten i den meningen att dess spektralnorm uppfyller $\|R\|_{2}\leq \epsilon$ för några små $\ epsilon >0$ . Sedan följer att alla egenvärden för $R$ är avgränsade i absoluta värden av $\epsilon$ . Om man tillämpar Weyls ojämlikhet, följer det att spektra för de hermitiska matriserna M och N är nära i den meningen att

$|\mu _{i}-\nu _{i}|\leq \epsilon \qquad \forall i=1,\ldots ,n.$

Observera dock att denna egenvärdesstörningsgräns i allmänhet är falsk för icke-hermitiska matriser (eller mer exakt, för icke-normala matriser). Som ett motexempel, låt $t>0$ vara godtyckligt litet, och överväg

$M={\begin{bmatrix}0&0\\1/t^{2}&0\end{bmatrix}},\qquad N=M+R={\begin{bmatrix}0&1\\1/t^ {2}&0\end{bmatrix}},\qquad R={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.$

vars egenvärden $\mu _{1}=\mu _{2}=0$ och $\nu _{ 1}=+1/t,\nu _{2}=-1/t$ uppfyller inte $|\mu _{i}-\nu _{i}|\leq \|R\|_{2}=1$ .

Weyls ojämlikhet för singulära värden

Låt $M$ vara en $p\times n$ -matris med $1\leq p\leq n$ . Dess singularvärden $\sigma _{k}(M)$ är de $p$ positiva egenvärdena för $(p+) n)\ gånger (p+n)$ Hermitisk förstärkt matris

${\begin{bmatrix}0&M\\M^{*}&0\end{bmatrix}}.$

Därför sträcker sig Weyls egenvärdesstörningsolikhet för hermitiska matriser naturligt till störning av singularvärden. Detta resultat ger gränsen för störningen i singularvärdena för en matris $M$ på grund av en additiv störning $\Delta$ :

$|\sigma _{k}(M+\Delta )-\sigma _{k}(M)|\leq \sigma _{1}(\Delta )$

där vi noterar att det största singularvärdet $\sigma _{1}(\Delta )$ sammanfaller med spektralnormen $\|\Delta \|_{2}$ .

Anteckningar

•   Matrix Theory , Joel N. Franklin, (Dover Publications, 1993) ISBN 0-486-41179-6
• "Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen", H. Weyl, Math. Ann., 71 (1912), 441–479