Poincarés separationssats

Inom matematiken ger Poincarés separationssats , även känd som Cauchy interlacing theorem , några övre och nedre gränser för egenvärden för en reell symmetrisk matris B'AB som kan betraktas som den ortogonala projektionen av en större reell symmetrisk matris A på en linjär delutrymme som sträcks av kolumnerna i B . Satsen är uppkallad efter Henri Poincaré .

Mer specifikt, låt A vara en n × n reell symmetrisk matris och _B an n × r semi -ortogonal matris så att B'B = Ir . Beteckna med $\lambda _{i}$ , i = 1, 2, ..., n och $\mu _{i}$ , i = 1, 2, ..., r egenvärdena för A respektive B'AB (i fallande ordning). Vi har

$\lambda _{i}\geq \mu _{i}\geq \lambda _{n-r+i},$

Bevis

Ett algebraiskt bevis, baserat på variationstolkningen av egenvärden , har publicerats i Magnus Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics . Ur geometrisk synvinkel B'AB betraktas som den ortogonala projektionen av A på det linjära delutrymmet som spänns av B , så ovanstående resultat följer omedelbart.