Signaturoperatör

I matematik är signaturoperatorn en elliptisk differentialoperator definierad på ett visst delrum av utrymmet av differentialformer på ett jämndimensionellt kompakt Riemann-grenrör , vars analytiska index är detsamma som grenrörets topologiska signatur om grenrörets dimension är en multipel av fyra. Det är en instans av en operatör av Dirac-typ.

Definition i det jämna dimensionsfallet

Låt $M$ vara ett kompakt Riemann-grenrör med jämn dimension $2l$ . Låta

$d:\Omega ^{p}(M)\högerpil \Omega ^{p+1}(M)$

vara den yttre derivatan på $i$ -th ordningens differentialformer på $M$ . Riemann-måttet på $M$ tillåter oss att definiera Hodge-stjärnoperatorn $\star$ och med den den inre produkten

$\langle \omega ,\eta \rangle =\int _{M}\omega \wedge \star \eta$

på blanketter. Beteckna med

$d^{*}:\Omega ^{p+1}(M)\högerpil \Omega ^{p}(M)$

den adjoint operatören för den yttre differentialen $d$ . Denna operatör kan uttryckas rent i termer av Hodge-stjärnoperatören enligt följande:

$d^{*}=(-1)^{2l(p+1)+2l +1}\star d\star =-\star d\star$

Betrakta nu $d+d^{*}$ som verkar på rymden av alla former $\Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{2l}\Omega ^{p}(M)$ . Ett sätt att betrakta detta som en graderad operator är följande: Låt $\tau$ vara en involution på utrymmet för alla former som definieras av:

$\tau (\omega )=i^{p(p-1)+l}\star \omega \quad ,\quad \omega \in \Omega ^{p}(M)$

Det är verifierat att $d+d^{*}$ anti-pendlar med $\tau$ och, följaktligen, växlar $(\pm 1)$ - egenrymd $\Omega _{\pm }(M)$ av $\tau$

Följaktligen,

$d+d^{*}={\begin{pmatrix}0&D\\D^{*}&0\end{pmatrix}}$

Definition: Operatorn $d+d^{*}$ med ovanstående gradering respektive ovanstående operator $D:\Omega _{+ }(M)\rightarrow \Omega _{-}(M)$ kallas signaturoperatorn för $M$ .

Definition i fallet med udda dimensioner

I det uddadimensionella fallet definierar man signaturoperatorn som $i(d+d^{*})\tau$ som verkar på de jämna dimensionella formerna av $M$ .

Hirzebruchs signatursats

Om $l=2k$ , så att dimensionen för $M$ är en multipel av fyra, så innebär Hodge-teorin att:

$\mathrm {index} (D)=\mathrm {tecken} (M)$

där den högra sidan är den topologiska signaturen ( dvs. signaturen för en kvadratisk form på $H^{2k}(M)\$ definierad av koppprodukten ).

Värmeekvationens tillvägagångssätt till Atiyah-Singer indexsatsen kan sedan användas för att visa att:

$\displaystyle \mathrm {tecken} (M)=\int _{M}L(p_{1},\ldots ,p_{ l})}$

där $L$ är Hirzebruch L-Polynomial , och $p_{i}\$ bildar Pontrjagin på M $\displaystyle M}$ .

Homotopi invarians av de högre indexen

Kaminker och Miller bevisade att de högre indexen för signaturoperatören är homotopi-invarianta.

Se även

• Hirzebruchs signatursats
• Pontryagin klass
• Friedrich Hirzebruch
• Michael Atiyah
• Isadore Singer

Anteckningar

•   Atiyah, MF; Bott, R. (1967), "A Lefschetz fix-point formula for elliptic complexes I", Annals of Mathematics , 86 (2): 374–407, doi : 10.2307/1970694 , JSTOR 1970694
•   Atiyah, MF; Bott, R.; Patodi, VK (1973), "On the heat equation and the index theorem", Inventiones Mathematicae , 19 (4): 279–330, Bibcode : 1973InMat..19..279A , doi : 10.1007/bf01425ID , 1901CID , 1901C
• Gilkey, PB (1973), "Curvature and the eigenvalues ​​of the Laplacian for elliptic complexes", Advances in Mathematics , 10 (3): 344–382, doi : 10.1016/0001-8708(73)90119-9
•   Hirzebruch, Friedrich (1995), Topological Methods in Algebraic Geometry, 4:e upplagan , Berlin och Heidelberg: Springer-Verlag. pp. 234, ISBN 978-3-540-58663-0
• Kaminker, Jerome; Miller, John G. (1985), "Homotopy Invariance of the Analytic Index of Signature Operators over C*-Algebras" (PDF) , Journal of Operator Theory , 14 : 113–127